Körlevél

A keringő vagy cirkulációs mátrix a forma mátrixa

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vponts & \vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

ahol mind komplex számok [1] . A cirkulációt röviden [2] -ként is leírhatjuk . Így a cirkuláns egy olyan mátrix, amelyben bármely következő sor (oszlop), az elsőtől (az elsőtől) kezdve, az előző sor (oszlop) elemeinek ciklikus alfabetikus permutációjával jön létre. Bármely körkörös mátrix definíció szerint Toeplitz . $a_{i}$ $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n))},\ i,j=1,\ldots ,n$

Ezenkívül egy ilyen mátrix determinánsát gyakran körfolyamatnak nevezik [3] .

Tulajdonságok

Legyenek és körkörös mátrixok. Ekkor a következő tulajdonságok érvényesek [4] . $A$ $B$

$AB=BA$ és - keringető. $AB$
A mátrixok (elemenkénti komplex konjugátum ), ( transzponált ) és ( hermitikus konjugátum ) cirkulárisak. $\overline {A}$ $A^{\mathrm {T} }$ $A^{*}$
A mátrix a következő helyen kering . $A^{k}$ $k\geqslant 0$
Ha nem degenerált , akkor körforgásos. $A$ $A^{{-1}}$
A mátrix perszimmetrikus és normál . $A$

Meghatározó

Jelöljük az egység primitív gyökerét . Ekkor a következő képlet érvényes a kördeterminánsra : $\zeta$ $n$ $C$

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n- 1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Bizonyíték

Jelöljük és . Szorozzuk meg a jobb oldali kört az űrlap Vandermonde-determinánsával : ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1))$ ${\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k))$ ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n))$

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vponts &\vdots &\dpontok &\vpontok \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}& \zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2} ^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{ 2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\ cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{ 1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n}) \end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _ {1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Ezután töröljük a Vandermonde-determinánst nullától eltérőként. ■

Más szavakkal, a körfolyamat sajátértékei megegyeznek a vektor diszkrét Fourier-transzformációjával [3] . $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$

Példák

A körkörös meghatározó a következő: $n=2$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2}) (a_{1}+a_{2}).

számára : $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3} &a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2} )(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Kapcsolódó definíciók

Anticirculant

Az anticirculant egy hasonló formájú mátrix [5] :

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{ n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Kosocirculant

Nézze meg a Mátrixot

\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2 }&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

-skew -circulant of order a [6] helyen . $\varphi$ $n$ $\varphi \neq 0$

Nyilvánvaló, hogy a keringtető egy ferde cirkuláció, a keringésgátló pedig egy ferde cirkuláció. $(egy)$ $(-egy)$

Lásd még

Hankel mátrix

Linkek

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Jegyzetek

↑ Aldrovandi, 2001 , p. 83.
↑ Davis, 1979 , p. 66.
↑ 1 2 Aldrovandi, 2001 , p. 84.
↑ Bernstein, DS Mátrix Matematika: elmélet, tények és képletek . - 2. kiadás - Princeton University Press , 2009. - P. 356. - ISBN 978-0-691-13287-7 .
↑ Bini, Pan, 1994 , p. 132.
↑ Voevodin, Tyrtyshnikov, 1987 , p. 47.

Irodalom

Maltsev, A. I. A lineáris algebra alapjai. —M.:Nauka, 1975. — 400 p. (Orosz)
Davis, PJ Circulant Matrices . - John Wiley & Sons , 1979. - ISBN 0-471-05771-1 .
Aldrovandi, R. A matematikai fizika speciális mátrixai :sztochasztikus, cirkulációs és Bell-mátrixok . - World Scientific , 2001. - ISBN 9810247087 .
Bini, D. , Pan, VY Polinom- és mátrixszámítások (angol) . - Birkhäuser Boston, 1994. - ISBN 0-8176-3786-9 .
Voevodin, V. V. , Tyrtyshnikov, E. E. Számítási folyamatok Toeplitz-mátrixokkal. —M.:Nauka, 1987. — 320 p. (Orosz)