Morse függvény

A Morse függvény egy sima függvény az elosztón , amelynek kritikus pontjai nem degenerálódnak .

A Morse-függvények a Morse-elméletben keletkeznek és használatosak, a differenciáltopológia egyik fő eszköze .

Definíció

Legyen egy sima sokaság , amelynek határa az (esetleg üres) sokaságok és a diszjunkt uniója . A triász Morse-függvénye egy olyan sima osztályfüggvény , ( vagy ) , hogy: $W$ $\részleges W$ $F_{0}$ $F_{1}$ $(W;F_{0}, F_{1})$ $C^{2}$ $f:W\to [a,b]$ $-\infty <a,b<+\infty$ $f:W\to [a,\infty ]$ $F_{1}=\varnothing$

$F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),$
a függvény minden kritikus pontja benne van, és nem degenerált. $f$ $W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)$

Tulajdonságok

Ha az elosztó véges dimenziós, akkor a Morse-függvények halmaza eléri a minimumot (globális) minden csatlakoztatott komponensen. $W$ $k\geqslant 2$
Az összes -sima ( ) függvények terében $C^k$ $k\geqslant 2$ $f:(W,F_{0},F_{1})\to ([a,b],a,b)$

a Morse-függvények halmaza egy sűrű nyitott halmaz [1] .

Változatok és általánosítások

A Morse-függvények természetesen általánosítanak a Hilbert-teljes (egyes metrikus tenzorokhoz képest ) teljes sokaságok simítására . Ehhez további feltétel szükséges:

(Pale–Smale feltétel) minden olyan zárt halmazon, ahol a függvény korlátos és a függvény infimuma egyenlő nullával, létezik a függvény kritikus pontja . $K\subset W$ $f$ $|df(x)|$ $f$

Ez a feltétel véges dimenziós esetben automatikusan teljesül.

Ebben az esetben a Morse-függvények halmaza nem nyitott halmazt, hanem a 2. Baer kategória halmaza

Lásd még

Riba gróf

Jegyzetek

↑ V. Guillemin, A. Pollack , Differenciál topológia – Prentice-Hall, New York, NY, 1974.