Busemann függvény

A Busemann függvény egy bizonyos típusú függvény egy metrikus térben . Nagyjából a Busemann-függvény úgy fogható fel, mint "távolság egy ponttól a végtelenben".

Történelem

Ezeket a függvényeket Busemann vezette be a metrikus terek globális tulajdonságainak tanulmányozása során [1] . Később a valószínűségszámításban használták az aszimptotikus perkolációk tanulmányozására [2] .

Definíció

Legyen metrikus tér . Sugárnak nevezzük azt a görbét , amely mindenhol minimalizálja a távolságot a hossza mentén, vagyis a természetes paraméterezésben mindenki számára. ${\megjelenítési stílus (X,d)}$ $\gamma \colon [0,\infty )\to X$ $t,t'\in [0,\infty )$

{\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |))

A γ, , sugár Busemann-függvényét határértékként határozzuk meg $B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R}$

B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}

Jegyzetek

A háromszög egyenlőtlenségből az következik, hogy $|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$

bármely . Ugyanakkor a funkció

x\X-ben

t\mapsto d(\gamma (t),x)-t

nem növekvő. Ezért a Busemann függvény mindig minden sugárhoz definiálva van .

\gamma

Nagy és fix $t$ $x$ $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).$

Tulajdonságok

A Lobacsevszkij térben a Busemann - függvények szintvonalai horoszférát alkotnak .

Jegyzetek

↑ Buseman G. A geodézia geometriája. – 1962.
↑ Hoffman, Christopher. "Együttélés a Richardson típusú versengő térbeli növekedési modellekhez." The Annals of Applied Probability 15.1B (2005): 739-747.