Olyan függvény, amelynek van antideriváltja

Az a függvény, amelynek van antideriváltja , olyan függvény, amely valamely függvény differenciálása eredményeként nyerhető. Általában a kifejezést egy valós változó valós értékű függvényeihez használjuk, az intervallumon definiálva . Ezeket a funkciókat a cikk későbbi részében tárgyaljuk.

Definíció

Legyen , ahol egy nem triviális intervallum (azaz nem üres halmaz és nem pont). Egy függvényt antiderivatívnak nevezünk, ha . Ha létezik ilyen függvény , akkor azt mondjuk, hogy van antideriváltja. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $f$ $F' = f$ $F$ $f$

Példák

Minden folytonos függvénynek van antideriváltja. Ez a felső változóhatárú Riemann-integrál tulajdonságaiból következik . Használatával könnyen visszaállíthatja a primitívet. Azonban nem minden antiderivatív funkció folyamatos. Ezek a funkciók érdekesek.

Példa 1. Korlátozott függvény egy hézaggal

A szakaszosan differenciálható függvény leghíresebb példája a következő:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Ennek a függvénynek a deriváltja a nulla kivételével minden pontban kiszámítható a szokásos differenciálási szabályok szerint . A nullánál lévő deriváltot definíció szerint kell kiszámítani:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}}-0}{x}}=\lim _{ x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

A származéka a következő:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[egy]

Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a függvénynek nincs-e határa nullánál. Valójában két olyan sorozatot állítunk össze, amelyek nullára hajlanak és úgy, hogy semmissé teszik a szinust, de , és . Akkor: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty }g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty }g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Így az in limit nem létezik, és a függvény megszakad benne. $0$

Most pedig bizonyítsuk be a határt. Hadd . Akkor: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Ezért a funkció korlátozott. Keressük meg a határt, mivel az érvelés a végtelenbe hajlik. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

A végtelen határértéke véges, ami azt jelenti, hogy a függvény a végtelen valamely környezetében korlátozott ( take more ). Szegmenseken és a függvény folytonos, míg a szegmensen folytonos függvény arra korlátos. Mindezen halmazok uniója alkotja az egész számegyenest, és bebizonyítottuk, hogy a függvény mindegyikre külön-külön korlátos, és mivel véges sok van belőlük, az egész számegyenesen korlátos lesz (maximum az egyes halmazok majoránsai az egész sor majoránsát adják ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $a$ $egy$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

2. példa: Függvény egy réssel, határtalan a szomszédságában

Módosítsuk az előző példát, hogy korlátlan függvényt kapjunk.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ vége{esetek}}

Hasonlóképpen a származékát tekintjük.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

A nullánál lévő megszakítást más módon fogjuk igazolni. Vegyünk egy nullára hajló sorozatot úgy, hogy semmissé teszi a szinust, de . Akkor: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ to \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

Ez automatikusan bizonyítja, hogy a függvény korlátlan a nulla közelében.

Az is érdekes, hogy ezen a ponton a függvénynek jelentős szakadása van, és nem végtelen. Ennek ellenőrzéséhez elegendő egy olyan sorozatot felvenni, amely semmissé teszi a koszinust, és a szinust eggyé alakítja. Könnyen kiszámítható, hogy a függvény határértéke ebben az esetben . A két sorozat eltérő korlátot adott, ami azt jelenti, hogy nincs határ. $0$ $0$

3. példa: Egy függvény megszámlálható megszakítási pontokkal

Nem nehéz felépíteni egy függvényt két, három, négy, öt, tetszőleges számú törésponttal: csak adja hozzá a szükséges számú függvényt egy törésponttal. Számukra az antiderivatíva az antiderivatívaik összege lesz. Például egy függvény három törésponttal:

{\megjelenítési stílus g(x)+g(x-1)+g(x-2)}

, ahol az 1. példa függvénye.

g

Logikus feltevés, hogy egy megszámlálható szakadási ponthalmazú függvény megszerzéséhez szükség van egy sor ilyen függvény hozzáadására. Itt azonban felmerül egy nehézség: előfordulhat, hogy a sorozat nem konvergál. A kívánt függvény eléréséhez valahogyan biztosítani kell ennek a sorozatnak a konvergenciáját. Sőt, az sem tény, hogy ezek után ennek a sorozatnak az összege egy antiderivált sorozat összegének deriváltja lesz. Mindez további elemzést igényel.

Vegyünk egy sorozatot és néhány pozitív konvergens számsort . Aztán a sorozat $a_n$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

egyenletesen konvergál a Weierstrass-teszt szerint (a függvény , mint emlékszünk, korlátos). Számos primitív $g$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

pontszerűen konvergál. Alkalmazhatja a sorozatok tagonkénti differenciálására vonatkozó tételt .

A folytonosság a sorozat pontjain kívül minden pontban az egyenletesen konvergens sorozatok tulajdonságaiból következik. A nem-negatív egész számok megszakadása a következő megfontolásból következik. Minden ilyen számhoz ki lehet dobni egy olyan kifejezést, amely nem folytonos benne. A fennmaradó tagok folytonosak és összegük is folytonos. Egy pontban nem folytonos és folytonos függvény összege nem folytonos. [3] $a_n$

A grafikon egy ilyen függvényt mutat racionális számok sorozatára és egy geometriai progresszióra sorozatként.

Tulajdonságok

Bármely függvénynél, amelynek van antideriváltja, teljesül a köztes érték tulajdonság: legyen a definíciós tartományba a pontok és a . Akkor $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\ \exists \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi ) =\eta

[négy]

Minden megszakítási pont (olyan pont, ahol a függvény meghatározott, de nem folytonos) jelentős. [5]
A definíciós tartomány egy pontjában az egyoldalú határérték nem lehet végtelen. Ha a pont egy megszakítási pont, akkor az egyoldalú határok legalább egyike nem létezik.
A definíciós tartomány bármely pontjához tartozó bilaterális, bal és jobb bizonytalansághalmazok a kiterjesztett valós egyenes szegmensei. A szegmensek tetszőlegesek lehetnek, kivéve az egypontosakat, amelyek csak végtelent tartalmaznak. Előfordulhat, hogy a jobb és a bal bizonytalansági halmaz nem esik egybe.
Ha egy függvény tartománya intervallum vagy félintervallum, akkor van egy határpontja, amely nem szerepel a definíciós tartományban. A határ egy ilyen ponton már végtelen lehet. Egy ilyen pont bizonytalansági halmaza egyben a kiterjesztett valós egyenes szakasza is, de ezúttal csak végtelennel rendelkező egypontos szakaszok megengedettek.
A definíciós tartomány bármely pontjában az érték mindig mindkét oldalon részleges határérték (ha a pont végpont, akkor az egyik oldalon). [6]
Az antiderivált függvények az első Baer osztályba tartoznak . [7]
Az antiderivatívával rendelkező függvény megszakítási pontjainak halmaza az első Baer-kategória -halmaza . Sőt, az első Baer-kategória bármely -halmaza egy olyan függvény megszakítási pontjainak halmaza, amelynek van antideriváltja. [nyolc] $G_\delta$ $G_\delta$

Integráció

Határozatlan integrál

Egy függvény határozatlan integrálja definíció szerint az összes antiderivált halmaza. Ezért minden függvénynek, amelynek van antideriváltja, van egy határozatlan integrálja is.

Minden antiderivatív függvény konstansban különbözik, és minden függvény, amely valamely antiderivatívtól konstansban különbözik, egyben antiderivatív. Ezért a határozatlan integrál az a halmaz, amelyet úgy kapunk, hogy az összes lehetséges állandót hozzáadjuk valamilyen antideriválthoz, azaz

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Ennek a tulajdonságnak a teljesítésében nagy szerepe van annak, ami az intervallumon van definiálva. Ha a definícióban megengedjük, hogy a definíciós tartomány ne egy intervallum, hanem nem metsző, nem triviális intervallumok uniója legyen, akkor az antideriváltoknak többé nem kell konstanssal különbözniük. A definíciós tartomány mindegyik intervallumán az antideriválták közötti különbség konstans, de a különböző intervallumokon ezek az állandók eltérőek lehetnek. Vagyis legyen definiálva -on , ahol nem metsző, nem triviális intervallumok vannak, és ezek közül kettő nem kombinálható intervallummá. Akkor $f$ $f$ ${\displaystyle X=X_{1}\cup \ldots \cup X_{n))$ ${\displaystyle X=X_{1},\ldots ,X_{n))$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\in X_{n}.\end{cases}}

Az itt található állandók minden lehetséges értéken átfutnak. ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n))$

Jegyzetek

↑ Bruckner, 1978 , p. 45.
↑ Bruckner, 1978 , p. 73.
↑ Bruckner, 1978 , p. 47.
↑ Bruckner, 1978 , p. 3.
↑ Bruckner, 1978 , p. négy.
↑ Bruckner, 1978 , p. 9.
↑ Bruckner, 1978 , p. 12.
↑ Bruckner, 1978 , p. 46.

Irodalom

Bruckner A.M. A valós függvények megkülönböztetése . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 p. — (Matematikai előadásjegyzetek). - ISBN 978-3-540-35776-6 .