Jost funkciók

Jost-függvények (Jost-megoldások, eng. Jost-függvények , eng. Jost-megoldások ) - az egydimenziós Schrödinger-egyenlet megoldásai a végtelenbe eső potenciálra.

Matematikai definíció

A probléma leírása

A forma egydimenziós Schrödinger - operátorát tekintjük

H=-{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+u(x),\quad x\in {\mathbb R},

ahol a potenciált a valós számok halmazán a lokálisan integrálhatóak osztályába tartozó függvényként definiáljuk. A sajátértékek megtalálásának megfelelő problémája a következő formában lesz : [1] $u(x)$ $\lambda =k^{2}$

-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).

Definíció

Tegyünk egy feltételt a formában lévő potenciálra

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }(1+|x|)|u(x)|{\mathrm d}x<\infty ,

ami azt jelenti, hogy a függvény 1/x 2 -nél gyorsabban esik le . Ez azt jelenti, hogy valós k -re vannak megoldások az egydimenziós Schrödinger-egyenletre, amelyeket egyedileg határoz meg a végtelenben lévő aszimptotika . $u(x)$ $|x|\to \infty$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}+o(1),\quad x\to -\infty ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+o(1),\quad x\to \infty ,

Jost-megoldásoknak [1] nevezték el Res Jost svájci fizikus után . [2] Általános esetben ( k komplexre is ) kimutatható, hogy a fenti feltétel mellett négy olyan megoldása van az egydimenziós Schrödinger-egyenletnek, amely kielégíti az integrálegyenleteket. $u(x)$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{1}}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi - x)}{k}}u(\xi )\overline {f_{1}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u (\xi )f_{2}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{2}}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )\overline {f_{2}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

ahol az overbar összetett ragozást jelent . Ezenkívül maguk a függvények és származékaik x -re vonatkoztatva folytonosak k at- ra vonatkozóan, és analitikusak at, és ezek a megoldások egyediek. [3] A Jost-függvények egyenletei közvetlenül a peremfeltételekből és a Schrödinger-egyenletből nyerhetők a Green-függvény segítségével a formában. ${\mathrm I}m\,k\geq 0$ ${\mathrm I}m\,k>0$

G(x,\xi ,k)=\left\lkapcsos zárójel {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k)),&\xi <x\\0 ,&\xi >x\end{tömb}}\jobbra.,

vagy közvetlen helyettesítés. [négy]

Használat

A Jost függvényeket a szórási problémákban és a szolitonok elméletében alkalmazzák . [5] [6]

Jegyzetek

↑ 1 2 Takhtajian, 2008 , p. 155.
↑ Scheck, 2007 , p. 157.
↑ Dodd et al., 1988 , p. 125-127.
↑ Novokshenov, 2002 , p. 42-43.
↑ Takhtajian, 2008 , pp. 136-139.
↑ Novokshenov, 2002 , p. 41-46.

Irodalom

Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J., Morris, X. Solitons and non-linear wave equitions. — M .: Mir, 1988. — 694 p.
Novokshenov, V. Yu. Bevezetés a szolitonok elméletébe. - Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2002. - 96 p. - ISBN 5-93972-100-1 .
Slavianinov, S. Iu. Az egydimenziós Schrödinger-egyenlet aszimptotikus megoldásai. - American Mathematical Soc., 1996. - Vol. 151. - 190 p. — (Matematikai monográfiák fordításai, Alkalmazott matematikai előadások). — ISBN 9780821805367 .
Scheck, F. Kvantumfizika. - Springer, 2007. - 738 p. — ISBN 9783540256458 .
Takhtadzjan, L. A. Kvantummechanika matematikusok számára. - American Mathematical Soc., 2008. - Vol. 95. - 387 p. - (Matematika érettségi). — ISBN 9780821846308 .