Fukszia modell

A fuksziánus modell egy hiperbolikus R Riemann-felület reprezentációja a H felső félsík faktorfelületeként a fuksziánus csoporthoz képest . Bármely hiperbolikus Riemann felület lehetővé teszi az ilyen ábrázolást. A koncepció Lazar Fuchs nevéhez fűződik .

Egy pontosabb meghatározás

Az uniformizálási tétel szerint bármely Riemann-felület elliptikus , parabolikus vagy hiperbolikus . Pontosabban ez a tétel kimondja, hogy olyan Riemann-felületnek kell lennie a faktorfelületnek, amely nem izomorf sem a Riemann-gömbhöz (elliptikus esetben), sem pedig egy komplex felület faktorfelületéhez képest a diszkrét részcsoporthoz képest (parabolikus esetben). a hiperbolikus síknak a teljesen megszakítás nélkül és szabadon ható alcsoporthoz képest . $R$ $\mathbb {H}$ $\Gamma$

A Poincaré-modellben a hiperbolikus sík felső félsíkjában a biholomorf transzformációk csoportja egy homográfiai hatású csoport , és az uniformizálási tétel azt jelenti, hogy létezik egy csavarásmentes diszkrét alcsoport , amelyre a Riemann felület izomorf . Az ilyen csoportot fuksziánus csoportnak, az izomorfizmust pedig fuksziánus modellnek nevezzük . $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$ $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

Fuksziánus modellek és Teichmüller tér

Legyen egy zárt hiperbolikus felület, és legyen egy fuksziánus csoport, amely a fuksziánus modellje . Hadd $R$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

{\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\))

Itt található az összes effektív és diszkrét reprezentáció halmaza a pontkonvergenciával generált topológiával (ezt néha "algebrai konvergenciának" is nevezik) [1] . Ebben a konkrét esetben a topológia a legegyszerűbben a következőképpen definiálható: a csoport végesen generálódik [ , mert izomorf az alapcsoporttal . Legyen generáló halmaz, akkor bármelyiket az elemek határozzák meg, és a részhalmazzal azonosíthatjuk a leképezést . Így beállítjuk az altér topológiáját. $A(\Gamma )$ $\rho$ $\Gamma$ $R$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r))$ $\rho \in A(\Gamma )$ $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ $A(G)$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r))$ $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$

Nielsen izomorfizmus-tétele (ez nem szabványos terminológia, és ez az eredmény nem kapcsolódik közvetlenül a Dehn-Nielsen-tételhez ) a következőket mondja ki [2] :

Bármely reprezentációhoz létezik egy autohomeomorfizmus (valójában egy kvázikonformális leképezés ) a felső félsíkra , úgy, hogy bármely .

\rho \in A(G)

h

\mathbb {H}

h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )

\gamma \in G

A bizonyítás nagyon egyszerű – válasszon egy homeomorfizmust , és emelje fel a hiperbolikus síkra. Diffeomorfizmus vétele kvázikonformális leképezést ad, mivel kompakt. $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ $R$

Ez a Teichmüller-tér [1] két modellje ekvivalenciájának tekinthető – az alapcsoport [3] diszkrét effektív reprezentációinak halmaza kosettákba és a címkézett Riemann-felületek halmaza között , ahol a természetes ekvivalencia kvázikonformális homeomorfizmusa. kapcsolat. $R$ $\pi _{1}(R)$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ ${\megjelenítési stílus (X,f)}$ $f\colon R\to X$

Lásd még

Klein modell , hasonló konstrukció 3D elosztókhoz
Fundamentális sokszög

Jegyzetek

↑ 1 2 Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , p. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , p. 12. Tétel 0.17.
↑ A hurkok homotópiaosztályainak halmazát a tér egy pontjából származó hurkok szorzatával, egy megjelölt ponttal rendelkező alapcsoportnak nevezzük , és jelöljük . Ha egy ösvényhez kapcsolódó tér , akkor az izomorfizmusig az alapcsoport nem függ a megjelölt ponttól, és az ilyen terekre írhatunk helyette . Lásd az alapcsoportot $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $x$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Irodalom

Matsuzaki K., Taniguchi M. Hiperbolikus sokaságok és Klein-csoportok. - Oxford University Press, 1998. - ISBN 0-19-850062-9 .