Stirling formula

A matematikában a Stirling-képlet (a Moivre-Stirling- képlet is) a faktoriális és a gamma-függvény közelítő kiszámításának képlete . A James Stirlingről és Abraham de Moivre -ról elnevezett utóbbit tartják a képlet szerzőjének [1] .

A képlet leggyakrabban használt változata:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

A következő kifejezés ebben a ; így pontosabb közelítés: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

ami egyenértékű azzal

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

A Stirling-képletet gyakran így írják

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

ahol ,. _ A képlet pontosabb becslést ad $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

ahol ,. _ $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

Az utolsó képletben a maximális érték valójában kisebb, mint 1, és körülbelül 0,7509. $\theta_n$

A Stirling-képlet egy közelítés, amelyet a faktoriális Stirling-sorozattá történő kiterjesztésével kapunk , amelynek alakja a következő : $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ bal ({\frac {n}{e}}\jobb)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\jobbra.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{igazított}}

hol vannak a Bernoulli-számok számmal . $B_j$ $j$

Ez a képlet az ekvivalencia szimbólumot használja az egyenlőség helyett, mivel a sorozat minden rögzített esetén eltér , de ez a faktoriális aszimptotikus kiterjesztése . $n$ $n\to\infty$

Linkek

↑ Pearson, Karl (1924), Történelmi megjegyzés a normál hibagörbe eredetéhez , Biometrika 16: 402–404 [p. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling csak azt mutatta meg, hogy a De Moivre-képletben szereplő számtani állandó . Úgy gondolom, hogy ez nem teszi őt a tétel szerzőjévé.” ${\sqrt {2\pi }}$

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online)