De Moivre formula

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

De Moivre komplex számokra vonatkozó képlete azt mondja ki $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )

[egy]

bármely . $n\in \mathbb {N}$

Történelmileg De Moivre képletét korábban bizonyították, mint Euler képletét :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

azonban rögtön következik belőle.

Alkalmazás

Hasonló képlet alkalmazható egy nem nullától eltérő komplex szám n- edik gyökének kiszámításakor is:

z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big ) }{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n))+i\sin {\frac {\ varphi +2\pi k}{n}}\jobbra),

ahol . $k=0,1,\pontok ,n-1$

Ebből a képletből az következik, hogy egy nem nulla komplex szám th-edik gyöke mindig létezik, és számuk egyenlő a -val . A komplex síkon, amint az ugyanebből a képletből látható, ezek a gyökök egy szabályos n - gon csúcsai, amelyek egy nulla középpontú sugarú körbe vannak írva . $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Amikor a Moivre-képletből levezetheti a trigonometrikus függvények értékeit több argumentumhoz (például dupla, tripla stb. szögek szinusza és koszinusza). $r=1$

Történelem

Abraham de Moivre angol matematikus fedezte fel .

Lásd még

Jegyzetek

↑ § 3. Komplex szám hatványra emelése és gyökér kinyerése komplex számból . scask.ru . Letöltve: 2022. március 27. (határozatlan)