Friedman egyenlet

A Friedmann-egyenlet egy olyan kozmológiai egyenlet, amely egy homogén és izotróp Univerzum ( a Friedmann-univerzum ) időbeni fejlődését írja le az általános relativitáselmélet keretein belül . Alexander Alexandrovich Fridmanról nevezték el , aki először 1922-ben származtatta ezt az egyenletet [1] .

Friedmann-egyenlet

A Friedman-egyenlet a Friedmann-metrikára van írva, amely egy homogén izotróp tér (állandó görbületű tér) szinkron metrikája [2] ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,

ahol a hossz eleme az állandó görbületű térben, az a világegyetem léptéke („mérete”). $dl^{2}$ $nál nél)$

Az állandó görbületű tér háromféle lehet - gömb (zárt), pszeudoszféra (nyitott) és lapos tér.

Gömbkoordináták

Zárt (véges) univerzum pozitív térgörbülettel

Egy zárt univerzumra a Friedmann-metrika az

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sin ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\jobbra)\,,

hol a fotometriai távolság , ; - gömbszögek; — skálázott idő, . $r=a\cdot\sin\chi$ $\chi \in [0,\pi ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

A Ricci-tenzor összetevői ehhez a mérőszámhoz a következők

R_{{\chi }}^{{\chi }}=R_{{\theta }}^({\theta }}=R_{{\phi }}^{{\phi }}=-{\frac { 1}{a^{{4}}}}(2a^{{2}}+a'^{{2}}+aa'')\;,

R_{{\eta }}^{{\eta }}={\frac {3}{a^{{4}}}}(a'^{{2}}-aa'')\;,

R=-{\frac {6}{a^{{3}}}}(a+a'')\;,

ahol a prím differenciálást jelent a tekintetében . $\eta$

Ideális folyadék esetén az energia-impulzus tenzor az

T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,

hol az energiasűrűség, ott a nyomás. Szinkron koordinátákban az anyag nyugalomban van, tehát a 4-es sebesség . $\epsilon$ $p$ $u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}$

Az Einstein-egyenlet időkomponense ,

R_{{\eta }}^{{\eta }}-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{{\eta }}^{{\eta }}\,,

a megadott Ricci-tenzorral és energia-impulzus tenzorral, és ez a Friedmann-egyenlet ,

{\frac {3}{a^{{4}}}}(a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Ha ismert az energiasűrűség és a nyomás kapcsolata (állapotegyenlet), akkor az energiasűrűség függése a világegyetem léptékétől az energiamegmaradási egyenlet segítségével meghatározható. $\epsilon$ $p$ $a$

d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.

Ebben az esetben a Friedmann-egyenlet megoldása egy integrálként fejezhető ki,

\eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1))))\,.

Nyílt (végtelen) univerzum negatív térgörbülettel

Egy nyitott univerzum esetében a Friedmann-metrika az

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sinh ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\jobbra)\,,

ahol , ; - gömbszögek; — skálázott idő, . $r=a\cdot\sinh\chi$ $\chi \in [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Nyilvánvaló, hogy ezt a mérőszámot a zárt univerzum metrikájából kapjuk helyettesítéssel . $\{a,\eta ,\chi \}\to \{ia,i\eta ,i\chi \}$

Ennek megfelelően a nyitott univerzum Friedmann-egyenlete az

{\frac {3}{a^{{4}}}}(-a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Nyitott (végtelen) és lapos univerzum

Lapos univerzumra a Friedmann-metrika az

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\chi ^{{2}} (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

ahol , ; - gömbszögek; — skálázott idő, . $r=a\chi$ $\chi \in [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Nyilvánvaló, hogy ezt a mérőszámot formálisan a határérték zárt univerzum metrikájából kapjuk . $r\ll a\to \infty$

Figyelembe véve, hogy ahol a Friedmann-egyenlet egy lapos univerzumra a megadott határértékben adódik $a'/a^{2}={\pont a}/a$ ${\pont a}\equiv da/dt$

3{\frac {{{\pont a}}^{2}}{a^{{2}}}}=\kappa \epsilon \,.

Csökkentett radiális koordináták

Ezekben a koordinátákban az állandó görbületű tér metrikája az

dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},

hol vannak a gömb szögkoordinátái; $\theta ,\phi$

r

- csökkentett radiális koordináta, a következőképpen definiálva: a sugár kerülete az origó középpontjával egyenlő

r

2\pi r;

k

egy olyan állandó, amely 0 értéket vesz fel sík térre, +1 értéket állandó pozitív görbületű térre, −1 értéket állandó negatív görbületű térre;

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

A Friedmann-egyenlet megoldásai

A Friedmann-egyenlet analitikusan integrálható két fontos korlátozó esetre, egy porral és egy sugárzással teli univerzumra.

Jegyzetek

↑ Friedman , A. Über die Krümmung des Raumes (német) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1922. - Bd. 10 , sz. 1 . - S. 377-386 . - doi : 10.1007/BF01332580 . - . (angol fordítás: Friedman, A. On the Curvature of Space (angol) // General Relativity and Gravitation : Journal. - 1999. - Vol. 31 , no. 12. - P. 1991-2000 . - doi : 10.1023 / A : 1026751225741 . - . ). Ennek a dokumentumnak az eredeti orosz kéziratát az Ehrenfest archívum őrzi. Archiválva : 2020. július 29. a Wayback Machine -nél .
↑ Gerard 't Hooft, Bevezetés az általános relativitáselméletbe , ISBN 978-1589490000 , ISBN 1589490002

Linkek

Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expanzió // Kozmológia. - Berlin: Springer, 2005. - P. 53-77. — ISBN 3-540-23261-3 .

Kozmológia
Alapfogalmak és tárgyak	Világegyetem megfigyelhető univerzum Vöröseltolódás kozmológiai CMB sugárzás Gravitációs hullámok Univerzum tágulása felgyorsult rejtett tömeg Sötét anyag sötét energia
Az Univerzum története	Nagy durranás nagy visszapattanás Az ősrobbanás kronológiája Infláció Elsődleges nukleoszintézis Rekombináció A galaxisok evolúciója Az Univerzum kora Az Univerzum jövője
Az Univerzum szerkezete	Az Univerzum nagy léptékű szerkezete Galaxisok szuperhalmaza Kvazárok nagy csoportja Galaktikus szál Üres Hubble buborék Az Univerzum alakja
Elméleti fogalmak	Az univerzumról alkotott elképzelések fejlődésének története Hubble törvény Gravitációs instabilitás Kozmológiai elv Kozmológiai modellek Kozmológiai szingularitás De Sitter modell forró univerzum modell Friedman Univerzum Társ távolság Kritikus sűrűség Friedman egyenlet Kozmológiai állapotegyenlet Lambda-CDM modell
Kísérletek	Megfigyelő kozmológia 2dF 6dF Bumeráng COBE SDSS WMAP Planck DES
Portál: Csillagászat