Meshchersky egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Mescserszkij-egyenlet a változó tömegű testek mechanikájának alapegyenlete , amelyet I. V. Mescserszkij kapott 1897 -ben [1] változó tömegű (összetételű) anyagi pontra .

Az egyenletet általában a következő formában írják fel:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

ahol:

$M(t)$ egy anyagi pont tömege, amely a részecskék környezettel való cseréje miatt tetszőleges t időpontban változik;
${\mathbf v}$ egy változó tömegű anyagi pont mozgási sebessége;
${\mathbf F}$ - a változó tömegű anyagi pontra ható külső erők eredője annak külső környezetéből (beleértve, ha ez előfordul, a közeg azon oldalát is, amellyel részecskéket cserél, pl. elektromágneses erők - tömegátadás esetén mágneses közeg, a közeg mozgásának ellenállása stb.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ az összekapcsolódó részecskék relatív sebessége;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ az elválasztott részecskék relatív sebessége;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ és a kapcsolódó részecskék össztömegének növekedési sebessége, illetve az elválasztott részecskék össztömegének növekedési sebessége. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Ennek az egyenletnek a megoldása eredményeként megkaphatjuk a Ciolkovszkij-képletet .

Méret:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} }{dt}}

"reaktív teljesítménynek" nevezik .

Általában [2] [3] [4] a Meshchersky-egyenletet az anyagi pontrendszer lendületének változási sebességére vonatkozó egyenlet alapján állítják elő, amelynek alakja:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

ahol a rendszer impulzusa, amely egyenlő a rendszert alkotó összes anyagi pont impulzusainak összegével, és a rendszer testeire ható összes külső erő eredője. Az alábbiakban az egyenlet egy ilyen megközelítést alkalmazó levezetése látható. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

A Mescserszkij-egyenlet levezetése

Tekintsünk egy változó tömegű testet . Kapcsoljon egy kis tömeg a testhez egy idő alatt , amelynek sebessége volt az összekapcsolódás előtt , és váljon el egy kis tömeg , amelynek a szétválás utáni sebessége egyenlő lesz . Számunkra érdekes rendszerként mindhárom említett szervet figyelembe vesszük. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

Az impulzusmegmaradás törvényének megfelelően a rendszer impulzusa a vizsgált folyamat elején és végén azonos:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

ahol a főtest lendületének változása mind a sebessége, mind a tömege változása miatt. $d(M{\vec {v)))$

Figyelembe véve, hogy az (1)-ből a következőket kapjuk: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

A fő test tömegének változása összefüggésbe hozható és az arány , ezért a (2)-ből a következő: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

A differenciálokról a deriváltokra való átállás és a kifejezések átrendezése után a (3) a következő alakot veszi fel:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Ha bevezetjük a relatív részecskesebességet és egyenlő, illetve , és hozzáadjuk a külső erők eredőjét , megkapjuk a Mescserszkij-egyenletet végső formájában. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Relativisztikus Meshchersky-egyenlet

Az első munkák [5] , amelyek a relativisztikus hatások figyelembevételével a rakéták mozgását vizsgálták, Akkeret [6] és Zenger [7] munkái voltak .

A fénysebességhez hasonló sebességek esetére alkalmas Meshchersky-egyenlet levezetésénél a relativisztikus momentum kifejezését használjuk . Ennek eredményeként az egyenlet a következő alakot ölti: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\jobb )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}\jobbra)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\jobbra).

Ebben az egyenletben általános esetben a és a relatív sebességeket nem vezetjük be , mivel a relativisztikus esetben a sebességek összeadása eltérően történik. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

Csak olyan részecskék esetében, amelyek a rakéta sebességével kollineáris sebességgel válnak szét , ez az egyenlet a következő alakra redukálódik:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

ahol a részecskék sebessége a rakétához képest. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Felfedezési előzmények

Változó tömegű anyagpont mozgásegyenletét a részecskék tapadásának (vagy szétválásának) esetére IV. Mescserszkij szerezte meg és vizsgálta meg alaposan a szentpétervári egyetemen 1897. december 10-én megvédett mesterdolgozatában [8] . Az első jelentést egy változó tömegű anyagi pont mozgásegyenletéről a részecskék egyidejű rögzítésének és elválasztásának általános esetben I. V. Meshchersky készítette 1898. augusztus 24-én a X. kongresszus matematikai és csillagászati szekciójának ülésén. Orosz természettudósok és orvosok Kijevben , később széles körben ismertté vált, a "Változó tömegű pont mozgásegyenletek általános esetben" című munkája után, amelyet a "Szentpétervári Politechnikai Intézet közleménye" 1904 -ben publikáltak [9] .

Megjegyzendő 1812-1814mégszerint_G.K.hogy,

Jegyzetek

↑ Kosmodemyansky A. A. „Iván Vszevolodovics Mescserszkij tudományos tevékenysége” 9-25. oldal I. V. Mescserszkij könyvében. Változó tömegű testek mechanikájával foglalkozik. Szerk. 1. — M.: GITTL, 1949. 13. o.
↑ Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. — M .: Fizmatlit; MIPT Kiadó, 2005. - T. I. Mechanika. — S. 119-120. — 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - M . : Felsőiskola, 1986. - S. 287-288. — 416 p.
↑ Irodov I. E. A mechanika alaptörvényei. - M . : Felsőiskola, 1985. - S. 41. - 248 p.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. A gravitáció és az elektromágnesesség makroszkopikus elméleteinek alapjai. - M .: Nauka, 1989. 153. o.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (orosz fordítás: M .: IL, 1958).
↑ Mescserszkij I. V. Változó tömegű testek mechanikájával foglalkozik. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1952. - 37. o.
↑ Mescserszkij I. V. Változó tömegű testek mechanikájával foglalkozik. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1952. - 222. o.
↑ Változó összetételű rendszer dinamikájának alapjainak és a sugárhajtás elméletének kidolgozása. — M.: 1977
↑ "Fizika- és mechanikatörténeti tanulmányok". Moszkva: Nauka, 1986, p. 191-238

Irodalom

Meshchersky I. V. "Változó tömegű pont dinamikája" // A könyvben. I. V. Mescserszkij. Változó tömegű testek mechanikájával foglalkozik. Szerk. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. 37-188.
Meshchersky I.V. , „Változó tömegű pont mozgásegyenletei általános esetben” // A könyvben. I. V. Mescserszkij. Változó tömegű testek mechanikájával foglalkozik. Szerk. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 p. 222-264.
Mikhailov G. K. "A változó összetételű rendszerek dinamikájának történetéről" Izvestiya AN SSSR: Rigid Body Mechanics, 1975, 5. sz., p. 41-51.
Mikhailov GK Változó összetételű rendszerek dinamikájának történetéről és a sugárhajtás elméletéről. M.: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Mechanikai Probléma Intézete, 1974.
Karagodin V. M. A változó összetételű testmechanika elméleti alapjai. M.: Oborongiz, 1963. 178. sz.
Változó tömegű testek mechanikája - a Physical Encyclopedia cikke
Kilchevsky N.A. Elméleti mechanika tanfolyam. 1. kötet. M .: Nauka, 1977. IV. fejezet "Változó tömegű pont dinamikája" 221. bekezdés - A Mescserszkij-egyenlet levezetése (433-435. oldal).
Aizerman M.A. Klasszikus mechanika. 2. kiadás M.: Nauka, 1980. - 368s. 3. fejezet 9. rész A mechanika alaptételeinek alkalmazása változó összetételű rendszer mozgására. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Elméleti mechanika (kiegészítések az általános szakaszokhoz). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 p. - ISBN 5-9221-0703-8 (2.5. bekezdés. Változó összetételű rendszer kinematikája. 71-77. o.; 3.4. Változó összetételű rendszer dinamikus alapmennyiségei. 91-94. o.; 6.2. a tömegközéppont mozgása a test kölcsönhatása során 170-172.o.. 6.3. Tétel változó összetételű rendszer impulzusának változásáról 172-180. o. 6.6. A tétel alkalmazása a mozgási energia változása változó összetételű rendszerre 200-207.o. 7.2. Általános egyenletelemzési dinamika változó tömegű pontrendszerre, 215-227.o.)
Sedov L. I. A rakéta repülésének relativisztikus elméletéről // Alkalmazott matematika és mechanika - 1986. - V. 50, no. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. A gravitáció és az elektromágnesesség makroszkopikus elméleteinek alapjai. — M.: Nauka, 1989. — 272 p. — ISBN 5-02-013805-3 . fejezet III. 4. bekezdés A rakéta repülésének relativisztikus elmélete.

Linkek

Borodovsky VN Hazai rakéták. Történelem és jövő