Gassmann egyenlet

A Gassmann -egyenletek olyan egyenletek, amelyek egy folyadékkal vagy gázzal telített porózus közeg rugalmassági paramétereit kapcsolják össze. A kőzetek rugalmas tulajdonságainak (a rugalmas hullámok terjedési sebességének) értékelésére szolgálnak a földkéreg geofizikai vizsgálatai során. A lineáris rugalmasságelmélet közelítésével kaptuk , amelyben egy homogén izotróp anyagot három független paraméterrel (vagy azokból származó mennyiségekkel) jellemeznek, például: tömörítési modulus , nyírási modulus és sűrűség . $K$ $G$ $\rho$

Porózus közeg rugalmas jellemzői

A Gassmann-egyenletekben használt porózus közeg modell feltételezi, hogy az anyag szilárd és folyékony (gáznemű) fázisból áll. A szilárd fázis egy merev vázat (vázat) alkot, amelyet makroszkopikus rugalmassági modulusai jellemeznek. A folyékony (gáznemű) fázis teljesen kitölti az űrt. Az üledékes kőzetek fizikája szempontjából a szilárd fázist kőzetképző ásványok kristályai vagy szemcséi, a folyékony fázist pedig a kőzet porózus terében lévő folyadékok képviselik. Feltételezzük, hogy az üres tér egyenletesen oszlik el egy ilyen közegben, és tulajdonságai függetlenek az iránytól ( izotróp ). Az üregek fő jellemzője a porozitás - az üregek térfogatának aránya a teljes minta térfogatához: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

A "hatékony" közeg módszeréhez hasonlóan a Gassmann-egyenletek levezetésekor olyan homogén izotróp anyagot választanak ki, amely alkalmazott terhelés hatására "átlagosan" ugyanúgy viselkedik, mint a vizsgált mikroinhomogén porózus közeg. Így a Gassmann modellben figyelembe vett kétfázisú rendszert a következő paraméterek jellemzik:

a telített anyag effektív rugalmassági modulusai : ; $K,G,\rho$
porozitás: ; $\phi$
a vázat alkotó szilárd fázis (ásványi anyag) rugalmassági modulusai: ; ${\displaystyle K_{m},G_{m},\rho _{m))$
folyadék rugalmassági modulusai: ; $K_{f},\rho _{f}$
a kőzetváz effektív rugalmassági modulusai (telítetlen): ; ${\displaystyle K_{száraz},G_{száraz))$

Ez utóbbiak mind az ásványi anyag tulajdonságaitól, mind sok más tényezőtől (a pórustér geometriája, a szemcsekontaktusok jellege, effektív nyomás stb.) függnek, és általában nem számíthatók ki egyértelműen. A Gassmann egyenletrendszer a felsorolt jellemzőket összekapcsolja egymással, ami lehetővé teszi egyes paraméterek másokkal való kifejezését különböző alkalmazott problémák (például folyadékpótlás problémája ) megoldása során. A modellben alkalmazott egyik feltételezés az a feltételezés, hogy egy kétfázisú közeg nyírási modulusa független a póruskitöltő folyadék tulajdonságaitól. Ezért (azonban ). A közeg sűrűsége a szilárd fázis sűrűsége és a folyadék sűrűsége közötti súlyozott átlag. Így a Gassmann-egyenletek fő jelentése a porózus telített közeg teljes körű tömörítési modulusának kifejezésében rejlik. Ennek a kifejezésnek a legáltalánosabb formájában a következő alakja van: $G$ ${\displaystyle G=G_{száraz))$ ${\displaystyle G_{dry}\neq G_{m))$

$F(K,K_{m},K_{száraz},K_{f},\phi )=0;$

Az egyenletben argumentumként szereplő öt paraméter bármelyike kifejezhető a másik négy paraméterrel.

Alapjelölés

Egy telített anyag effektív rugalmassági modulusának kiszámításához a Gassmann-egyenletek explicit alakját használjuk:

K=K_{száraz}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{száraz)){K_{m))}\right)^{2)){{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{száraz)){K_{m}^{2))))};

G=G_{száraz};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Ezek a kifejezések lehetővé teszik a töltőfolyadék rugalmassági paramétereinek a kőzet tulajdonságaira gyakorolt hatásának mértékét. Ezek alapján a porózus telített közeg egyéb rugalmassági jellemzői is kiszámíthatók. Például:

hosszanti hullám sebessége :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

nyírási hullám sebessége :

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{száraz}}{\rho }}};

Megjegyzendő, hogy annak ellenére, hogy a folyadék tulajdonságai nem befolyásolják a kőzet nyírási modulusát, a nyírási hullám sebessége a sűrűség hatására változik a folyadék típusának változásával.

A "száraz" csontváz rugalmas modulusai

A telített porózus anyag rugalmassági jellemzőinek kiszámításához a Gassmann-egyenlet explicit alakja segítségével be kell állítani a paramétereket és . Ehhez általában empirikus összefüggéseket használnak. A Nur kritikus porozitásának általánosított modellje (A.Nur), amely jól illeszkedik a kísérletekhez, és amelyet numerikus szimuláció eredményei is megerősítenek [1] , széleskörű alkalmazásra talált : ${\displaystyle K_{száraz))$ ${\displaystyle G_{száraz))$

K_{dry}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{a},\ \ \phi <\phi _{ cr}

G_{dry}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\ \ \phi <\phi _{ cr}

Itt van a kritikus porozitás, és a mérési eredményekhez kalibrált szabályozási együtthatók. ${\displaystyle \phi _{cr))$ $a$ $b$

A kritikus porozitás fizikai jelentése az üregek relatív térfogata, amely felett az anyag elveszti merevségét (például a homokkőből a homokba vagy a telített kőzetből a szuszpenzióba való átmenet pontja). A kritikus érték feletti porozitási érték esetén ,. Ebben az esetben a Gassmann-egyenlet Wood egyenletté alakul . $K_{száraz}=G_{száraz}=0$

A paraméterek és a paraméterek értéke az üres tér geometriájától, az érintkezés természetétől és a szemcsék alakjától, valamint a kőzetváz egyéb jellemzőitől függ. $a$ $b$

A szilárd fázis és a folyadék többkomponensű összetétele

A valódi kőzetek szilárd fázisának összetétele általában több kőzetképző ásványt tartalmaz. Ebben az esetben különféle átlagolási technikákat alkalmaznak az ásványi anyag rugalmassági modulusainak értékelésére . Az önkonzisztens terepi módszer általában jó eredményeket ad . A Hill átlagolási módszer is használható . $K_{m}$ $G_{m}$

A Wood-egyenlet felhasználható egy többkomponensű összetételű folyadék körkörös kompressziós modulusának becslésére . Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy ez az egyenlet csak nem elegyedő komponensekre alkalmazható. Például egy bizonyos mennyiségű földgázt oldott állapotban tartalmazó tározóolaj tulajdonságainak értékelése nagy hibákat adhat.

Alapvető feltételezések. Hatókör

A Gassmann-egyenletek mind a statikus rugalmassági modulusok meghatározására, mind pedig dinamikus esetben használhatók (például kőzetekben a szeizmikus hullámok terjedési sebességének becslésére). Az egyenletek levezetése során azonban a következő feltételezéseket alkalmazzuk, amelyek korlátozzák ennek az elméletnek a hatókörét:

Az ásványi váz és a folyadék együtt mozog (nincs csúszás). A kőzet elemi térfogatának változása a folyadék és a szilárd fázis térfogatváltozásának összege;
A folyadék tulajdonságai nem befolyásolják a kőzet nyírási modulusát;
A kőzetben jelentkező feszültség a váz feszültségének és a folyadékban lévő nyomásnak (pórusnyomás) összege;

Az első feltevés korlátozza a jelek frekvenciatartományát, ha a Gassmann-elméletet dinamikus problémákban alkalmazzuk. Megfelelően rövid hullámhosszon a folyékony fázis "elcsúszik" a kőzetvázhoz képest. Ennek eredményeként a hullámsebesség és az energia disszipáció frekvenciaszóródása figyelhető meg. Ezeket a hatásokat az általánosabb Biot-Nikolajevszkij-elmélet veszi figyelembe , amelyből a Gassmann-egyenletek speciális esetként származtathatók.

Azt a frekvenciatartományt, amelyen belül a Gassmann-elmélet jól leírja a kísérleti adatokat, általában a Biot rezonanciafrekvencia 10%-ára becsülik :

f_{max}=0,1f_{Bio}=0,1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ a folyadék dinamikus viszkozitása ,

$\kappa$ - az anyag áteresztőképességi együtthatója ( a kőzet abszolút permeabilitása ).

Porózus és áteresztő telített közegben nagyobb frekvenciájú oszcilláció esetén a longitudinális és keresztirányú hullámok mellett egy második típusú longitudinális hullám is keletkezik .

A legtöbb valódi kőzet esetében a Biot rezonancia frekvencia lényegesen magasabb, mint 20-30 kHz. Ez lehetővé teszi a Gassmann-egyenletek felhasználását a szeizmikus és szonikus adatok értelmezése során .

Az alábbi táblázat példát mutat be a Gassmann-egyenletek alkalmazhatóságának határgyakoriságának becslésére valódi vízzel telített kőzetek néhány tipikus porozitásának és permeabilitásának értékére.

Példa a határfrekvencia becslésére (kHz): $f_{{max}}$
	porozitás
áteresztőképesség	tíz%	húsz%	harminc%	40%
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	tizennyolc	27	35

Az írás egyéb formái

Számos alkalmazott feladatban célszerű a Gassmann-egyenletek más reprezentációit használni, amelyek az alapformából származtathatók.

1. Implicit forma

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{száraz}}{K_{m}-K_{száraz}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f))));

2. Reuss űrlap

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{száraz}}{K_{m}-K_{száraz}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi }{K_{m}}};

3. Form Biot

K=K_{száraz}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi }{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{száraz}}{K_{m}}},

A Biot-együttható értékét az üres tér tulajdonságai határozzák meg. Kimutatható, hogy ez a paraméter a pórustérfogat változásának és a kőzet teljes térfogatának deformáció során bekövetkező változásának arányát jellemzi. $B$

Hátrányok és korlátok

A Gassmann-egyenletek fő hátránya a gyakorlatban, hogy meg kell határozni a váz rugalmas tulajdonságait , amelyek sok tényezőtől függenek és nehezen értékelhetők. $(K_{száraz},G_{száraz})$

Fontos figyelembe venni a frekvencia összetétel korlátait is – a Biot frekvenciánál nagyobb rugalmas rezgések frekvenciájánál a Gassmann-egyenlet rosszul írja le a kétfázisú közegek rugalmas jellemzőit a folyadék mozgásának figyelmen kívül hagyása miatt. szilárd fázis.

Folyadékcsere probléma

A fenti egyenletek felhasználásával megbecsülhető, hogy egy ismert rugalmassági tulajdonságú telített kőzet tulajdonságai hogyan változnak, ha a telítőfolyadék típusát megváltoztatjuk. Ugyanakkor, ha a folyadékok rugalmassági modulusa, valamint a kőzet ásványi komponense ismert, akkor a probléma megoldásához nem szükséges a kőzetváz rugalmassági jellemzőit beállítani. Ennek a feladatnak nagy gyakorlati jelentősége van annak felmérésében, hogy az olaj- vagy gázlelőhelyek milyen mértékben befolyásolják a geofizikai felmérések eredményeit.

Lásd még

Linkek

Kőzetfizikusok _

Irodalom

Fehér J.E. Szeizmikus hullámok gerjesztése és terjedése = Underground sound / editor ford. N.N. Buborék. — M .: Nedra, 1986. — 261 p.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - 96. sz . - S. 1-23 . (német) (van angol fordítás )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (angol)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J., and Galmundi, D. Kritikus porozitás: a kulcs a kőzetek fizikai tulajdonságainak porozitásához való kapcsolódáshoz, Proc. 65. Ann Int. találkozó szoc. Expl. Geophys.. - 1995. - 878. sz . (Angol)
↑ Roberts, AP, and Garboczi, EJ Model porous ceramics rugalmas tulajdonságai // J. Amer. kerámiatársadalom. - 2000. - 83. sz . - S. 3041-3048 . (Angol)