Hamilton-Jacobi egyenlet

A fizikában és a matematikában a Hamilton - Jacobi egyenlet a forma egyenlete

H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1))},\dots ,{\frac {\partial S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Itt S a klasszikus cselekvést jelöli , a klasszikus Hamilton -féle , és általánosított koordináták. $H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ $q_{i}$

Közvetlenül a klasszikus (nem kvantum) mechanikához kapcsolódva azonban kiválóan alkalmas a klasszikus mechanika és a kvantummechanika közötti kapcsolat megteremtésére, mivel például a Schrödinger-egyenletből szinte közvetlenül megkapható egy gyorsan oszcilláló mechanika közelítésében. hullámfüggvény (nagy frekvenciák és hullámszámok).

A klasszikus mechanikában általában a klasszikus Hamilton -féle speciális kanonikus transzformációjából adódik , ami ehhez a nemlineáris elsőrendű differenciálegyenlethez vezet, amelynek megoldása egy dinamikus rendszer viselkedését írja le.

A Hamilton-Jacobi egyenletet meg kell különböztetni Hamilton és Euler-Lagrange mozgásegyenleteitől . Bár ez az egyenlet belőlük származik, ez egyetlen egyenlet, amely egy tetszőleges számú s szabadságfokkal rendelkező mechanikai rendszer dinamikáját írja le , ellentétben a 2 s Hamilton egyenletekkel és az s Euler-Lagrange egyenletekkel.

A Hamilton-Jacobi egyenlet segít elegánsan megoldani a Kepler-problémát .

Kanonikus konverzió

A Hamilton-Jacobi egyenlet azonnal következik abból, hogy bármely generáló függvényre (az indexeket figyelmen kívül hagyva) a mozgásegyenletek azonos formát öltenek a következő transzformáció esetén és alatt: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\partial S}{\partial t)).

Az új mozgásegyenletek válnak

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

A Hamilton-Jacobi egyenlet egy specifikus S generáló függvényből adódik , amely Hʹ -t nullával azonossá teszi. Ebben az esetben minden származéka eltűnik, és

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

Így egy alapozott koordinátarendszerben a rendszer tökéletesen stacioner fázistérben . Azt azonban még nem határoztuk meg, hogy melyik S generáló függvénnyel valósul meg a transzformáció a primer koordináta-rendszerbe. Használjuk azt a tényt

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Mivel az (1) egyenlet megadja , írhatunk $p=\partial S/\partial q,$

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

ami a Hamilton-Jacobi egyenlet.

Megoldás

A Hamilton–Jacobi egyenletet gyakran a változók szétválasztásával oldják meg . Adjon meg valamilyen koordinátát (a határozottság kedvéért beszélünk ) és a neki megfelelő impulzus az egyenletbe a formában $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1)) }\jobbra),q_{2},\pontok ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2))},\pontok ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.

Akkor rakhatod

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

ahol egy tetszőleges állandó, az inverz függvény, és oldja meg a Hamilton-Jacobi egyenletet kevesebb változóval. Ha a folyamat minden változóban folytatható, akkor az egyenlet megoldása a formát veszi fel $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

ahol tetszőleges állandók vannak, az integrációs állandó. Emlékezzünk vissza, hogy ebben az esetben a végpont függvénye . Mivel a művelet a Hamilton-rendszer kanonikus transzformációját határozza meg , a koordinátákra vonatkozó deriváltjai az új koordináta-rendszerben momentumok, így azokat meg kell őrizni: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots ,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i))}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{ n},t).

Az impulzusegyenletekkel együtt ez határozza meg a rendszer mozgását.

Továbbá, ha egy holonomikus rendszerben szabadságfokokkal a mozgási alakjapotenciális energiánakaésformájavanenergiának [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\pont {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Butenin, 1971 , p. 167.

Irodalom

Cikk a Physical Encyclopedia-ban
Gantmakher F. R. Előadások az analitikai mechanikáról . 2. kiadás - M . : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Az analitikai mechanika alapjai . - M .: Felsőiskola, 1976.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 5. kiadás, sztereotip. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 p. — („Elméleti fizika”, I. kötet). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. A mechanika variációs elvei . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW Classical Mechanics . - M .: Külföldi. irodalom, 1961.
Pavlenko Yu. G. Előadások az elméleti mechanikáról. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 p.
Pars L. A. Analitikai dinamika . — M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Bevezetés az analitikai mechanikába. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.