Ultrametrikus tér

Az ultrametrikus tér egy olyan metrikus tér speciális esete , amelyben a metrika kielégíti az erős háromszög egyenlőtlenséget :

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))

Az ilyen mérőszámot ultrametrikusnak nevezzük . Egyszerűen fogalmazva, ultrametrikus térben nem lehet nagyobb távolságot elérni kisebbek hozzáadásával, vagyis az „Arkhimédész-elvet” nem tartják tiszteletben .

Definíció

Az ultrametrikus tér egy olyan pár , ahol egy halmaz és egy valós értékű függvény, más néven metrika , amely teljesíti a következő feltételeket: ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( pozitív határozottság )
$d(x,y)=d(y,x)$ ( szimmetria )
${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))$ ( erős háromszög egyenlőtlenség )

Az ultrametrikus tér abban különbözik a metrikus tértől, hogy a háromszög-egyenlőtlenséget egy megerősített háromszög-egyenlőtlenség váltja fel.

Tulajdonságok

Minden háromszög egyenlő szárú, és ha nem minden oldala egyenlő, akkor az egyik rövidebb, mint a másik kettő.
A labda minden pontja a középpontja.
Ha két golyónak van közös pontja, akkor vagy egybeesik, vagy az egyik teljesen tartalmazza a másikat.
Az ultrametrikus tér topológiája teljesen nem folytonos .

Példák

A diszkrét metrika (azaz két pont távolsága 0, ha egyezik, és 1, ha nem) ultrametrikus.
A mutató olyan, hogy , és . ${\megjelenítési stílus 1,2,\pontok ,n,\pontok }$ ${\megjelenítési stílus d(n,m)=d_{n))$ $n<m$ $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$
Tetszőleges hosszúságú szavak halmaza valamilyen ultrametrikus ábécében , ahol az első szimbólum száma, amely különbözik a és szavakban . $\Sigma$ ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n))$ $n$ $a$ $b$
p-adikus számok ultrametrikus teret alkotnak a természetes ultrametrikussal.
A természetes ultrametriával felruházott modellek az információelméletben a karaktersorozatok tanulmányozása során, a szilárdtestfizikában pedig a forgó szemüvegek tanulmányozásakor merülnek fel .

Irodalom

B. Becker, S. Vosztokov, Yu. Ionin. 2-adikus számok // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .