Szöggyorsulás

Szöggyorsulás
${\boldsymbol \varepsilon }={\frac {{\mathrm d}{\boldsymbol \omega }}({\mathrm d}t))={\boldsymbol {\pont \omega }}$
Egységek
SI	rad / s 2
GHS	rad / s 2
Megjegyzések
pszeudovektor

A szöggyorsulás egy pszeudovektor fizikai mennyiség, amely egyenlő a szögsebesség pszeudovektorának első deriváltjával az idő függvényében

${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}.$

A szöggyorsulás egy merev test mozgása során a modul változásának intenzitását és a szögsebesség irányát jellemzi .

Hogyan jutunk el a szöggyorsulás fogalmához: egy merev test pontjának gyorsulása szabad mozgásban

A szöggyorsulás fogalmát egy merev test szabad mozgású pontjának gyorsulásának kiszámításával kaphatjuk meg. Egy testpont sebessége szabad mozgásban az Euler-képlet szerint egyenlő $B$

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB)),$

ahol a test pólusnak vett pontjának sebessége; a test szögsebességének pszeudovektora; a pólustól arra a pontra indított vektor, amelynek sebességét számítjuk. Megkülönböztetve ezt a kifejezést az idő függvényében és a riválisok képletét [1] használva , megkaptuk ${\vec v}_{A}$ $A$ $\vec\omega$ ${\vec {AB}}$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}+{\vec {\omega } }\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB)))$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{ tengely}}},$

hol van a pólus gyorsulása ; a szöggyorsulás pszeudovektora. Egy pont gyorsulásának a szöggyorsuláson keresztül számított összetevőjét a pólus körüli pont forgási gyorsulásának nevezzük ${\vec a}_{A}$ $A$ ${\vec \varepsilon }={\frac {d{\vec \omega }}{dt}}$ $B$ $B$ $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}.$

Az eredményül kapott képlet utolsó tagját, amely a szögsebességtől függ, éles gyorsulásnak , a pólus körüli pont gyorsulásának nevezzük. $B$ $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,axis}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB} }\jobb).$

A szöggyorsulási pszeudovektor geometriai jelentése

A pszeudovektor tangenciálisan a szögsebesség - hodográfra irányul. Valójában vegyük figyelembe a szögsebesség vektorának két értékét időben és időben . Becsüljük meg a szögsebesség változását a vizsgált időintervallumra ${\vec \varepsilon }$ $t$ $t+\Delta t$ $\Delta t$

$\Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).$

Ezt a változást annak az időszaknak tulajdonítjuk, amely alatt az bekövetkezett.

${\frac {\Delta {\vec {\omega ))}{\Delta t))={\vec {\varepsilon ))^{\,\,'}.$

A kapott vektort átlagos szöggyorsulási vektornak nevezzük. Szekáns pozíciót foglal el, a szögsebességvektor hodográfját a és pontokban keresztezi . Menjünk a határig $M_{0}$ $M_{1}$ $\Delta t\ 0-ra$

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega ))}{\Delta t))={\frac {d{\vec {\omega ))} {dt}}={\vec {\varepsilon }}.$

Az átlagos szöggyorsulási vektor a pillanatnyi szöggyorsulás vektorává változik, és a szögsebesség-hodográf egy pontjában az érintő helyzetét veszi fel. $M_{0}$

A szöggyorsulási vektor kifejezése a végső elforgatás paramétereivel

Ha figyelembe vesszük a test forgását a végső forgás paraméterein keresztül, a szöggyorsulási vektor a képlettel írható fel

${\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u }}}{dt^{2}}}\jobbra)+{\pont {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt }}+{\pont {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\jobbra)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},$

ahol a forgástengely irányát meghatározó egységvektor; az a szög, amelyen keresztül a tengely körüli elforgatás történik . $\vec u$ $\varphi$ $\vec u$

Szöggyorsulás a test fix tengely körüli forgása során

Amikor a test a test rögzített pontjain átmenő rögzített tengely körül forog és a forgástengely egységvektorának deriváltjai nullával egyenlők $O_{1}$ $O_{2}$

${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.$

Ebben az esetben a szöggyorsulási vektort triviálisan az elforgatási szög második deriváltja határozza meg.

${\vec \varepsilon }={\ddot \varphi }\,{\vec u}$

vagy

${\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u)),$

ahol a szöggyorsulás algebrai értéke. Ebben az esetben a szöggyorsulás pszeudovektora a szögsebességhez hasonlóan a test forgástengelye mentén irányul. Ha az elforgatási szög első és második deriváltja azonos előjelű $\varepsilon ={\dpont \varphi}$

( ), ${\pont \varphi }\,{\ddot \varphi }>0$

akkor a szöggyorsulás vektora és a szögsebesség vektora irányban egybeesik (a test gyorsan forog). Ellenkező esetben a -nál a szögsebesség és a szöggyorsulás vektorai ellentétes irányba irányulnak (a test lassan forog). ${\pont \varphi }\,{\ddot \varphi }<0$

Az elméleti mechanika során hagyományosnak mondható az a megközelítés, amelyben a szögsebesség és a szöggyorsulás fogalmát bevezetik egy test fix tengely körüli forgásának figyelembevételéhez. Ebben az esetben a test forgásszögének időfüggését tekintjük a mozgás törvényének

$\varphi =\varphi(t).$

Ebben az esetben a test pontjának mozgástörvénye természetes módon fejezhető ki, mint egy körív hossza, amelyet az a pont jár be, amikor a test valamilyen kiindulási helyzetből elfordul. $\varphi _{0}=\varphi (t_{0}).$

$s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),$

ahol a pont és a forgástengely távolsága (a kör sugara, amely mentén a pont mozog). Az utolsó összefüggést az idő függvényében differenciálva megkapjuk a pont algebrai sebességét $R$

${\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R,$

ahol a szögsebesség algebrai értéke. A test egy pontjának forgás közbeni gyorsulása a tangenciális és a normál gyorsulás geometriai összegeként ábrázolható. $\omega ={\frac {d\varphi }{dt))$

${\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n },$

sőt a tangenciális gyorsulást a pont algebrai sebességének deriváltjaként kapjuk

$a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right )=R\,{\frac {d\omega }{dt))=\varepsilon \,R,$

ahol a szöggyorsulás algebrai értéke. Egy testpont normál gyorsulása a képletekkel számítható ki ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt))={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2))))$

$a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.$

A szöggyorsulás pszeudovektorának kifejezése a test forgástenzorában

Ha egy merev test forgását rangtenzorral ( lineáris operátor ) adjuk meg, például véges forgási paraméterekkel kifejezve $\left(1,\,1\right)$

$B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},$

hol van a Kronecker szimbólum ; a Levi-Civita tenzor , akkor a szöggyorsulási pszeudovektor a képlettel számítható ${\displaystyle \delta _{\,m}^{\,p))$ ${\displaystyle \epsilon _{\,lkj))$

$\varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^ {'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\pont {B}}_{\,m}^{'\,p}\, {\pont {B}}_{\,k}^{\,m}\jobbra),$

ahol az inverz transzformációs tenzor egyenlő ${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p))$

$B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \ varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k} .$

Jegyzetek

↑ V.I. Drong, V.V. Dubinin, M.M. Iljin és mások; szerk. K.S. Kolesnikova, V.V. Dubinin. Elméleti mechanika tantárgy: tankönyv egyetemek számára. - 2017. - S. 101, 111. - 580 p. - ISBN 978-5-7038-4568-4 .

Irodalom

Targ S. M. Egy rövid tanfolyam az elméleti mechanikából - 10. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Magasabb. iskola., 1986 - 416 p.
Pogorelov D. Yu. Bevezetés a testrendszerek dinamikájának modellezésébe: Tankönyv. - Brjanszk: BSTU, 1997. - 197 p.