Pascal-háromszög

A Pascal-háromszög ( aritmetikai háromszög ) a binomiális együtthatók végtelen táblázata , amelynek háromszög alakja van. Ebben a háromszögben egységek vannak a tetején és az oldalakon . Mindegyik szám egyenlő a felette lévő két szám összegével. A háromszög vonalai szimmetrikusak a függőleges tengelyre. Blaise Pascalról kapta a nevét . A Pascal-háromszöget alkotó számok természetesen előfordulnak az algebrában , a kombinatorikában , a valószínűségszámításban , a számításban , a számelméletben [1] .

Történelem

A meru-prastaara nevű binomiális együtthatók háromszög sorozatának első említése a 10. századi indiai matematikus, Halayudha kommentárjában történik egy másik matematikus, Pingala írásaihoz . A háromszöget Omar Khayyam is feltárja 1100 körül, ezért Iránban ezt a sémát Khayyam háromszögnek hívják. 1303- ban jelent meg Zhu Shijie kínai matematikus "Jasper Mirror of the Four Elements" című könyve , amelyben Pascal háromszögét ábrázolták az egyik illusztráción; úgy vélik, hogy egy másik kínai matematikus, Yang Hui találta fel (ezért hívják a kínaiak Yang Hui háromszögének).

Olaszországban Pascal háromszögét néha "Tartaglia háromszögének" is nevezik, mert Niccolò Tartaglia száz évvel Pascal előtt írta le ezt a táblázatot. Peter Apian , az Ingolstadti Egyetem csillagásza által 1529-ben írt aritmetikai tankönyv címlapja is Pascal háromszögét ábrázolja. 1665 - ben [2] pedig megjelent Blaise Pascal "A Treatise on the Arithmetic Triangle" [3] című könyve , amelyet kifejezetten ennek a táblázatnak szenteltek, és tartalmilag megelőzte elődeit.

Jelölések és tulajdonságok

A binomiális együtthatókat gyakran " n elem kombinációinak száma k -val " [1] jelölik . $\binom{n}{k}$ $C_{n}^{k}$

A háromszög számok szimmetrikusak (egyenlőek) a függőleges tengely körül.
Az n számú sorban (a számozás 0-tól kezdődik):
- az első és az utolsó szám 1;
- a második és az utolsó előtti szám n ;
- a harmadik szám egyenlő a háromszög számmal , amely egyenlő az előző sorok számainak összegével is; $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))$
- a negyedik szám tetraéderes ;
- m -edik szám (0-tól kezdődő számozással) egyenlő a binomiális együtthatóval . $C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}$
Az ( n −1) sor első elemétől kezdődő növekvő átló számainak összege az n - edik Fibonacci-szám : ${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$
Ha a páros számsor középső számából kivonja az ugyanabból a sorból származó szomszédos számot, akkor a katalán számot kapja .
A Pascal-háromszög n- edik sorában lévő számok összege . $2^{n}$
Az n- edik sorban lévő összes szám az egy kivételével akkor és csak akkor osztható n számmal , ha n prímszám [4] ( Lucas tételének következménye ).
Ha egy sorban páratlan számmal összeadjuk a 3 n , 3 n + 1, 3 n + 2 formájú sorszámú számokat , akkor az első két összeg egyenlő lesz, a harmadik pedig 1-gyel kisebb. .
A háromszögben lévő minden szám megegyezik azzal a számmal, ahányféleképpen lehet eljutni felülről, jobbról lefelé vagy balról lefelé.

Idézetek

A Pascal-háromszög olyan egyszerű, hogy még egy tízéves gyerek is ki tudja írni. Ugyanakkor kimeríthetetlen kincseket rejt magában, és összekapcsolja a matematika különböző aspektusait, amelyeknek első pillantásra semmi közük nincs egymáshoz. Az ilyen szokatlan tulajdonságok lehetővé teszik számunkra, hogy a Pascal-háromszög az egyik legelegánsabb séma az egész matematikában.Martin Gardner [5]

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára, 1985 .
↑ O. V. Kuzmin. Pascal-háromszög és piramis: tulajdonságok és általánosítások // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , 5. sz . - S. 101-109 . Az eredetiből archiválva : 2013. október 29.
↑ A nagy francia csodálatos háromszöge // Hard'n'Soft . - 2003. - 10. sz . Archiválva az eredetiből 2010. április 21-én.
↑ Weisstein, Eric W. Pascal háromszöge a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Martin Gardner . 17. fejezet Pascal háromszögének kimeríthetetlen varázsa . — M .: Mir, 1974. — 456 p.

Irodalom

Pascal háromszöge // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - S. 230 -232. — 352 p.
Fuks D., Fuks M. Binomiális együtthatók aritmetikája // Kvant . - 1970. - 6. sz . - S. 17-25 .
Uszpenszkij V. A. Pascal háromszöge . — M .: Nauka, 1979. — 48 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). - 200 000 példányban.

Linkek

Weisstein, Eric W. Pascal háromszöge (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Pascal-háromszög felépítése

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán nagy kínai Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph348268