Tórikus rész

A tórikus metszet a tórusz tetszőleges sík általi szakasza . A tóruszszelvények, a Perseus görbék sajátos eseteit az ókorban tanulmányozták. Az általános esetet Jean Darboux tanulmányozta a XIX. [egy]

Általános képlet

A tórikus metszet az alak negyedrendű síkgörbéje [1]

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.

Az egyenlet öt paramétere a tórusz két paraméterével – az r, R , [2] kis és nagy körök sugaraival, valamint a vágási síkot meghatározó három paraméterrel – van meghatározva. [3] Ha a sík nem metszi a tórusszt, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

Példa

A tórusz keresztmetszetét a bitangens sík paramétereivel a képlet adja meg $R,r,(r<R)$

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

A képlet két kör képleteinek szorzatára bontható.

Merőleges metszetek

A tórusznak a tengelyével párhuzamos (a kör forgási síkjára merőleges) sík metszeteit spirálmetszeteknek vagy Perseus-görbéknek nevezzük. Ezeket az ókori görög geométer , Perseus tárta fel Kr.e. 150 körül. e. [4] A tórusznak a tengelyére merőleges sík metszete egy gyűrű .

Villarceau kerületei

A tórusz legérdekesebb ferde szakasza a bikangens sík szakasza - a Villarceau kör . Nem nyilvánvaló módon ez a szakasz két egymást metsző kört ábrázol. Metszéspontjuk egybeesik a metszősík és a tórusz érintkezési pontjaival. [5]

Jegyzetek

↑ 1 2 Sym, Antoni (2009), Darboux legnagyobb szerelme , Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42 (40): 404001 , DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001 .
↑ A tórusz bármilyen kényelmes módon elhelyezhető a koordináták közepén.
↑ Egy paraméter (a metszet elforgatása a síkon) a tórusz központi szimmetriája miatt eltávolítható.
↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Görbék eredete és generálása, Síkkalgebrai görbék , Bázel: Birkhäuser Verlag, p. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8 , DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1 .
↑ Schoenberg, IJ (1985), Egy tórusz Villarceau köreinek közvetlen megközelítése, Simon Stevin T. 59 (4): 365–372 .