↔ ⇔ ≡
Az „ akkor és csak akkor ” a logikában , a matematikában és a filozófiában használt állítások közötti ekvivalencia logikai kapcsolata . Ahhoz, hogy egyenértékű legyen, a kötőelemnek meg kell egyeznie egy szabványos anyagfeltétellel [1] ("csak akkor" egyenértékű a "ha ... akkor"-val), az ellentétével kapcsolódik, innen a hivatkozás neve. Ennek eredményeképpen az egyik állítás igaza megköveteli a másik igazságtartalmát, vagyis vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Lehet vitatkozni azon, hogy az orosz nyelv „ha és csak akkor” kifejezése közvetíti-e a fent meghatározott kapcsolatot a már meglévő jelentésével. Természetesen semmi sem akadályozhat meg bennünket abban, hogy ezt a csomagot pontosan úgy olvassuk, hogy "ha és csak akkor", bár ez néha zavart okozhat.
Az írásban az "akkor és csak akkor" alternatívájaként gyakran használnak meglehetősen ellentmondásos kifejezéseket, beleértve: Q szükséges és elegendő P számára ; P ekvivalens (vagy anyagilag egyenértékű) Q-val ; R pontosan, ha Q ; P pontosan akkor, amikor Q ; P pontosan Q esetén ; P pontosan Q esetén .
A logikai képletekben a fenti kifejezések helyett logikai szimbólumokat használnak.
A p ↔ q igazságtáblázata a következő: [2]
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| egy | egy | egy |
| egy | 0 | 0 |
| 0 | egy | 0 |
| 0 | 0 | egy |
Megjegyzendő, hogy az ekvivalens transzformációt a szabványos XNOR cella, az ellenkező transzformációt pedig a szabványos XOR cella hajtja végre.
A ↔, ⇔ és ≡ logikai szimbólumok a „ha és csak akkor” logikai kapcsolót jelölik a képletekben. Az angol szövegekben néha az „iff” (az „ha és csak ha” rövidítése) használatos egy hivatkozás jelölésére, az orosz szövegekben pedig analógia útján a „ttt” [3] vagy a „sogda” [4] rövidítése a következő. alkalmanként használt . Általában ezeket a szimbólumokat egyenértékűnek tekintik. A matematikai logika egyes szövegei azonban (különösen az elsőrendű logikán és kisebb mértékben a propozíciós logikán ) különbséget tesznek közöttük, mivel a ↔ első jelet szimbólumként használják a logikai képletekben, míg a ⇔ jelet a logikai képletekben használják. okoskodás ezekről a képletekről (például a metalológiában ). A Łukasiewicz jelölés az "E" karaktert használja előtagként. Ennek a konnektívumnak a tagadása "kizárólagos vagy".
A legtöbb logikai rendszerben a "P ↔ Q" alakú állításokat a "ha P, akkor Q" és "ha Q, akkor P" bizonyítással igazolják (vagy fordítva : " ha nem-P, akkor nem-Q" és "ha nem-Q, akkor nem-P"). Ennek az állításpárnak a bizonyítása néha szigorúbb bizonyításhoz vezet, mivel vannak nem nyilvánvaló feltételek, amelyekből az ekvivalencia közvetlenül levezethető. Alternatív megoldás a "(P és Q) vagy (nem-P és nem-Q)" diszjunkció bizonyítása , amely maga is levezethető a diszjunkciókból, azaz mivel a konnektív ↔ igazságfüggvény, ebből következik, hogy "P ↔ Q" csak akkor igaz, ha P és Q mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis.
Az elegendőség a szükségesség fordítottja. Vagyis ha P → Q adott (vagy ha P , akkor Q ), akkor P elégséges feltétele Q -nak, Q pedig szükséges feltétele P -nek. Továbbá, ha P → Q adott , akkor ¬Q → ¬P is igaz (ahol ¬ a negációs operátor, azaz "nem"). Ez azt jelenti, hogy a P → Q operátor által létrehozott P és Q kapcsolat a következő ekvivalens módokon fejezhető ki:
P elegendő Q -hez (ha P igaz, akkor Q biztos) Q szükséges P -hez (ha Q igaz, akkor P valószínűségi) ¬Q elegendő ¬P -hez (ha ¬Q igaz, akkor ¬P biztos) ¬P szükséges ¬Q -hoz (ha ¬P igaz, akkor ¬Q valószínűségi)Példaként vesszük a fenti (1) mondatot, amely szerint P → Q , ahol P jelentése "a kérdéses puding puding", Q pedig "Madison megeszi a kérdéses pudingot". A kapcsolatok kifejezésének következő négy módja egyenértékű:
Ha a szóban forgó puding puding, akkor Madison megeszi. Csak ha Madison megeszi a szóban forgó pudingot, az valószínűleg puding. Ha Madison nem eszi meg a szóban forgó pudingot, akkor puding nélkül. Csak ha a szóban forgó puding nem pudingmentes, Madison nem eszi meg.Így azt látjuk, hogy a fenti (2) mondat újrafogalmazható úgy, mintha ... akkor például: "Ha Madison megeszi a szóban forgó pudingot, akkor pudinggal." Ha ezt az (1)-tel együtt vesszük, azt találjuk, hogy a (3) a következőképpen állítható: "Ha a kérdéses puding puding, akkor Madison megeszi, és ha Madison megeszi a pudingot, akkor az puding." krém."