Technológiai készlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A technológiai halmaz a mikroökonómiában használt fogalom, amely formalizálja a nettó kimenetek összes technológiailag megvalósítható vektorának halmazát.

Definíció

Legyen áldás a gazdaságban. A termelés során árukat fogyasztanak belőlük. Jelöljük ezen előnyök (költségek) vektorát (a vektor dimenzióját ). A termelési folyamat során más javak is keletkeznek (a vektor dimenziója ). Jelöljük ezeknek az áruknak a vektorát . Ekkor a vektort (dimenzió - ) nettó kimeneti vektornak nevezzük . Az összes technológiailag megvalósítható nettó kimeneti vektor halmaza alkotja a technológiai halmazt . Valójában ez a tér egy részhalmaza . $N$ $n$ $x$ $n$ $m=Nn$ $m$ $y$ $z=(-x,y)$ $N$ $R^{N}$

Tulajdonságok

Nem üresség : A technológiai készlet nem üres. A nem-üresség a termelés alapvető lehetőségét jelenti.
Az inaktivitás megengedhetősége : a nulla vektor a technológiai halmazhoz tartozik. Ez a formális tulajdonság azt jelenti, hogy a nulla kibocsátás nulla költség mellett elfogadható.
Lezárás : a technológiakészlet saját határt tartalmaz, és a technológiailag megvalósítható nettó kimeneti vektorok sorozatának határa is a technológiakészlethez tartozik.
Költésszabadság : ha egy adott vektor a technológiai halmazhoz tartozik, akkor bármely vektor is hozzátartozik . Ez azt jelenti, hogy formálisan azonos mennyiségű kibocsátás magasabb költséggel állítható elő. $z$ $z'\leqslant z$
"Bőségszaru" hiánya : a nem negatív nettó kimeneti vektorok közül csak a nulla vektor tartozik a technológiai halmazba. Ez azt jelenti, hogy egy termék pozitív mennyiségben történő előállításához nullától eltérő költségekre van szükség.
Irreverzibilitás : bármely érvényes vektor esetén az ellenkező vektor nem tartozik a technológiai halmazba. Vagyis lehetetlen a kibocsátásból ugyanabban a mennyiségben erőforrásokat előállítani, mint amennyit a termék előállításához felhasználnak. $z$ $-z$
Additivitás : Két érvényes vektor összege is érvényes vektor. Vagyis a technológiák kombinációja megengedett.
A termelési léptékhez való visszatéréshez kapcsolódó tulajdonságok :
- Nem növekvő skálahozamok : Bármely , ha z a technológiakészlethez tartozik, akkor az is a technológiakészlethez tartozik. $\lambda \in (0;1)$ $\lambda z$
- Nem csökkenő skálahozamok : Ha z a technológiakészlethez tartozik, akkor az is a technológiakészlethez tartozik. $\lambda >1$ $\lambda z$
- Állandó méretarányos visszatérések : a két előző tulajdonság egyidejű teljesülése, vagyis minden pozitív ha a technológiakészlethez tartozik, akkor a technológiakészlethez is tartozik. Az állandó hozamok tulajdonsága azt jelenti, hogy a technológiai halmaz egy kúp. $\lambda$ $z$ $\lambda z$

8. Konvexitás : bármely két megengedett vektor esetén bármely vektor is megengedett , ahol . A konvexitás tulajdonsága a technológiák "keverésének" képességét jelenti. Különösen akkor teljesül, ha a technológiai halmaz rendelkezik az additív és nem növekvő skálahozam tulajdonságával. Ráadásul ebben az esetben a technológiai halmaz egy konvex kúp. $z_{1},z_{2}$ ${\displaystyle \alpha z_{1}+(1-\alpha )z_{2))$ $0<\alpha \leqslant 1$

Hatékony technológiai határvonal

Egy elfogadható technológiát akkor nevezünk hatékonynak , ha nincs más, ettől eltérő elfogadható technológia . A hatékony technológiák halmaza képezi a technológiai halmaz hatékony határát . $z$ $z'\geqslant z$

Ha teljesül a szabad költekezés és a technológiai halmaz zártságának feltétele, akkor lehetetlen egy jószág termelését végtelenül növelni anélkül, hogy a többi termék kibocsátását ne csökkentené. Ebben az esetben minden elfogadható technológiához létezik egy hatékony technológia . Ebben az esetben a teljes technológiai halmaz helyett csak annak effektív határa használható. Általában az effektív határt valamilyen termelési függvény adhatja meg. $z$ $z'\geqslant z$

Gyártási funkció

Vegyük fontolóra az egytermékes technológiákat , ahol a méretvektor és a dimenziók költségvektora . Tekintsünk egy halmazt , amely tartalmazza az összes lehetséges költségvektort úgy, hogy mindegyikre létezik , így a nettó kimeneti vektorok a technológiai halmazhoz tartoznak. ${\megjelenítési stílus (-x,y)}$ $y$ $m=1$ $x$ $n$ $x$ $x$ $x$ $y$ ${\megjelenítési stílus (-x,y)}$

Az on numerikus függvényt termelési függvénynek nevezzük , ha bármely adott költségvektor esetén az érték határozza meg a megengedett kimenet maximális értékét (úgy, hogy a nettó kimeneti vektor (-x, y) a technológiakészlethez tartozik). $f(x)$ $x$ $x$ $f(x)$ $y$

A technológiai halmaz effektív határának tetszőleges pontja ábrázolható -ként , és fordítva igaz, ha ez egy növekvő függvény (jelen esetben az effektív határegyenlet). Ha a technológiakészlet rendelkezik a költési szabadsággal és egy termelési függvénnyel leírható, akkor a technológiakészlet az egyenlőtlenség alapján kerül meghatározásra . ${\megjelenítési stílus (-x,f(x))}$ $f(x)$ $y=f(x)$ $y\leqslant f(x)$

Ahhoz, hogy a technológiai halmaz a termelési függvénnyel adható legyen, elegendő, ha az adott költség mellett megvalósítható kimenetek bármely halmazához korlátos és zárt. Ez a feltétel különösen akkor teljesül, ha a technológiai készlet kielégíti a záródás, a nem növekvő méretarányos megtérülés és a bőségszaru hiányának jellemzőit. $x$ $F(x)$ $x$

Ha a technológiai halmaz konvex, akkor a gyártási függvény homorú és folyamatos a halmaz belsejében . Ha a költekezés szabadságának feltétele teljesül, akkor nem csökkenő függvényről van szó (ebben az esetben a technológiai halmaz konvexitása is következik a függvény konkávitásából). Végül, ha a bőségszaru hiányának feltétele és az inaktivitás megengedhetősége egyszerre teljesül, akkor . $x$ $f(x)$ $f(0)=0$

Ha a termelési függvény differenciálható, akkor a skála helyi rugalmassága a következő ekvivalens módszerekkel határozható meg:

$e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda }{f(x)))|_{\lambda =1}= {\frac {f'(x)x}{f(x)}}$

ahol a termelési függvény gradiensvektora. $f'(x)$

Ha így meghatároztuk a skálarugalmasságot, akkor kimutatható, hogy ha a technológiai halmaznak van állandó skálahozama tulajdonsága, akkor , ha csökkenő skálahozamot ad, akkor , ha növekszik, akkor . $e(x)=1$ $e(x)\leqslant 1$ $e(x)\geqslant 1$

Producer kihívása

Ha adott egy árvektor , akkor a termék a termelő profitja. A termelő feladata, hogy olyan vektort találjon, amely egy adott árvektor mellett maximalizálja a profitot. Az áruk árának azon halmazát, amelyre ez a probléma megoldása van, jelöli . Megmutatható, hogy egy nem üres, zárt technológiai halmaznál, nem növekvő méretarányos megtérüléssel, a termelői problémának van megoldása az úgynevezett recesszív irányban negatív profitot adó árak halmazán (ezek a technológiai halmazok ). vektorok, amelyekhez minden nem negatív esetén a vektorok is a technológiakészlethez tartoznak). Különösen, ha a recesszív irányok halmaza egybeesik -vel , akkor a megoldás létezik bármilyen pozitív árra. $p$ $pz$ $z$ $P$ $P$ $z$ $\lambda$ $\lambda z$ ${\displaystyle R_{-}^{N))$

A profitfüggvényt a következőképpen definiáljuk , ahol a termelői probléma megoldása adott árak mellett (ez az ún. kínálati függvény, esetleg többértékű). A profitfüggvény pozitívan homogén (elsőfokú), azaz a belső téren folyamatos . Ha a technológiai halmaz szigorúan konvex, akkor a profitfüggvény is folyamatosan differenciálható. Ha a technológiai halmaz zárt, akkor a profitfüggvény konvex a megengedett árak bármely konvex részhalmazán . $\pi (p)$ $pz(p)$ $z(p)$ $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ $P$ $P$

A mondat függvénye (leképezése) nulla fokú pozitívan homogén. Ha a technológiakészlet szigorúan konvex, akkor az ellátási függvény P-n egyértékű, a belső oldalon pedig folyamatos . Ha egy kínálati függvény kétszer differenciálható, akkor ennek a függvénynek a Jacobi -mátrixa szimmetrikus és nemnegatív definit. $z(p)$ $P$

Ha a technológiai halmazt egy termelési függvény reprezentálja, akkor a profitot a következőképpen definiáljuk: ahol a termelési tényezők árának vektora , jelen esetben a kibocsátás ára. Ekkor a termelő problémájának bármely belső (azaz a belsőhöz tartozó ) megoldása esetén minden tényező határterméke megegyezik a relatív árával, vagyis vektor formában . $pf(x)-wx$ $w$ $p$ $x$ $f'(x)=w/p$

Ha megadjuk a profitfüggvényt , amely kétszer folytonosan differenciálható, konvex és pozitívan homogén (elsőfokú) függvény, akkor lehetőség van a technológiai halmaz olyan halmazként való visszaállítására, amely bármely nemnegatív árvektorra tartalmazza a az egyenlőtlenséget kielégítő nettó outputok . Az is kimutatható, hogy ha a kínálati függvény nulla fokú pozitívan homogén, és az első deriváltjainak mátrixa folytonos, szimmetrikus és nemnegatív definitív, akkor a megfelelő profitfüggvény kielégíti a fenti követelményeket (fordítva is igaz). . $\pi (p)$ $p$ $z$ $pz\leqslant \pi (p)$

Technológiai készlet

Definíció

Tulajdonságok

Hatékony technológiai határvonal

Gyártási funkció

Producer kihívása

Lásd még