Sorozati elmélet

A sorelmélet , vagy sorbanálláselmélet a valószínűségszámítás egy része , melynek célja a sorbanállási rendszer felépítésének és a szolgáltatási folyamatnak a racionális megválasztása a rendszerbe belépő és kilépő szolgáltatási igények áramlásának vizsgálata alapján, a várakozási idő és sorhosszok [1] . A sorelmélet a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika módszereit használja .

Történelem

A homogén események áramlásának elméletét , amely a sorbanállás elméletének alapját képezte, A. Ya. Khinchin szovjet matematikus dolgozta ki [2] .

A sorbanálláselmélet ( QMT ) első problémáival Agner Erlang , a koppenhágai telefontársaság tudósa foglalkozott 1908 és 1922 között. A feladat a telefonközpont munkájának racionalizálása és az ügyfélkiszolgálás minőségének előzetes kiszámítása volt a használt készülékek számától függően.

Létezik egy telefoncsomópont ( serving device ), ahol a telefonszolgáltatók időről időre egyes telefonszámokat kapcsolnak egymáshoz. A sorban állási rendszerek (QS) kétféleek lehetnek: várakozással és várakozás nélkül (vagyis veszteséggel). Az első esetben egy hívásnak ( igény, kérés ), amely abban a pillanatban érkezett az állomásra, amikor a kívánt vonal foglalt, meg kell várnia a csatlakozás pillanatát. A második esetben "elhagyja a rendszert", és nem igényli a QS figyelmét.

A sorban állási rendszerek hatékony matematikai eszközt jelentenek a valós társadalmi-gazdasági [3] és demográfiai folyamatok széles körének tanulmányozására [4] .

Flow

Egységes áramlás

Az alkalmazások áramlása homogén , ha:

minden alkalmazás egyenlő
csak a pályázatok beérkezésének pillanatait veszik figyelembe, vagyis a pályázatok tényét, az egyes pályázatok részleteinek megadása nélkül.

Utóhatás nélküli áramlás

Utóhatás nélküli folyam , ha az események száma bármely időintervallumban ( , ) nem függ a másik időintervallum eseményeinek számától, amely nem metszi a miénket ( , ). $t$ $t+x$ $t$ $t+x$

Álló áramlás

A kérések áramlása stacionárius , ha a ( , ) időintervallumban n esemény bekövetkezésének valószínűsége nem függ az időtől , hanem csak ennek a szegmensnek a hosszától . $t$ $t+x$ $t$ $x$

A legegyszerűbb folyamat

Az utóhatások nélküli homogén álló áramlás a legegyszerűbb , Poisson - áramlás .

Egy ilyen folyam eseményeinek száma , amelyek a hossz intervallumra esnek, a Poisson-törvény szerint oszlanak meg : $n$ $x$

P(n,x)={\frac {(\lambda x)^{n}e^{-\lambda x}}{n!}}.

A kérések Poisson-folyamata kényelmes a TMT-problémák megoldására. Szigorúan véve a legegyszerűbb áramlások ritkák a gyakorlatban, de sok szimulált áramlás tekinthető a legegyszerűbbnek.

Normál áramlás

Az utóhatások nélküli stacionárius áramlást, amelyre az események közötti intervallumok a normáltörvény szerint oszlanak meg, normál áramlásnak nevezzük [5] : . $f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{t}}}\exp {-{\frac {1}{2}}\left({ \frac {t-m_{t}}{\sigma _{t}}}\jobbra)^{2}}$

Erlang folyam

A harmadrendű Erlang-folyam egy stacionárius utóhatások nélküli folyam, amelyben az események közötti intervallumok független valószínűségi változók összege, amelyek exponenciális törvény szerint azonosan eloszlanak egy paraméterrel [6] . Amikor az Erlang-folyam a legegyszerűbb folyam. $k$ $k+1$ $\lambda$ $k=0$

A T-intervallum véletlenszerű értékének eloszlási sűrűsége két szomszédos esemény között a harmadrendű Erlang-folyamban: , . $k$ ${\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{k)){\Gamma (\alpha )))\exp {-\beta t))$ $t>0,\alpha \geqslant 1$

Gamma fluxus

A gamma-áramlás utóhatások nélküli stacionárius áramlás, amelyben az események közötti intervallumok valószínűségi változók, amelyek gamma-eloszlásnak vannak kitéve, paraméterekkel és : , , ahol [7] . $\alpha$ $\beta$ $f(t)={\frac {\beta ^{\alpha }t^{\alpha -1}}{k!}}\exp {-\lambda t}$ $t>0$ $\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\exp {-x}dx$

A gamma fluxus egy harmadrendű Erlang fluxus. $\alpha =k+1$ $k$

Pillanatnyi sűrűség

Az áramlás pillanatnyi sűrűsége ( intenzitása ) egyenlő az elemi időintervallumonkénti átlagos események számának ( , ) és az intervallum hosszának ( ) arányának határával, amikor az utóbbi nullára hajlik. $t$ $t+x$ $x$

\lambda (t)=\lim _{{x\to 0}}\bal({\frac {M(t+x)-M(t)}{x}}\jobbra)

vagy a legegyszerűbb áramláshoz

\lambda ={\frac {M(x)}{x)),

ahol egyenlő az intervallum eseményeinek számának matematikai elvárásával . $M(x)$ $x$

Little képlete

N^{*}=\lambda T.

A kérések átlagos száma a rendszerben megegyezik a bemeneti áramlás intenzitásának és a kérés rendszerben való átlagos tartózkodási idejének szorzatával.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Sorozatelmélet // Matematikai enciklopédikus szótár. - M .: "Szovjet Enciklopédia", 1988, 327-328.
↑ Kibernetikai szótár / Szerk.: V. S. Mikhalevich akadémikus . - 2. - Kijev: Az M. P. Bazhanról elnevezett Ukrán Szovjet Enciklopédia főkiadása, 1989. - S. 486. - 751 p. - (C48). — 50.000 példány. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Afanasyeva L. G., Rudenko I. V. A GI|G|∞ szolgáltatási rendszerek és alkalmazásaik a közlekedési modellek elemzésére // Valószínűségelmélet és alkalmazása. - 2012. T. 57. szám. 3. - S. 427-452.
↑ Nosova M. G. Autonóm nem markovi sorbanállási rendszer és alkalmazása demográfiai problémákban: disz. … cand. fiz.math. Tudományok: 05.13.18. - Tomszk, 2010. - S. 204.
↑ Ovcsarov, 1969 , p. 22.
↑ Ovcsarov, 1969 , p. 24.
↑ Ovcsarov, 1969 , p. 40.

Irodalom

Ivchenko G.I., Kashtanov V.A., Kovalenko I.N. Queuing Theory. — Tankönyv egyetemek számára. - M . : Felsőiskola, 1982. - 256 p. — 20.000 példány.
Kleinrock L. A sorban állás elmélete. Per. angolról. / Per. I. I. Grusko; szerk. V. I. Neiman. - M . : Mashinostroenie, 1979. - 432 p. — 10.000 példány.
Matveev VF, Ushakov VG Sorozati rendszerek. - M. : MGU, 1984. - 240 p.
Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - 847 p.
Lifshits A. L., Malts E. A. Sorozati rendszerek statisztikai modellezése / Előszó. levelező tag A Szovjetunió Tudományos Akadémia N. P. Buslenko . - M . : Szov. Rádió, 1978. - 248 p.
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Valószínűségelmélet (10. fejezet. Markov-folyamatok. Eseményfolyamatok. Sorozatelmélet). - M . : "Tudomány". Fizikai és Matematikai Irodalmi Fő Kiadó, 1969. - 368 p. — 100.000 példány.
Borovkov AA Valószínűségi folyamatok a sorban állás elméletében. - M . : "Tudomány". Fizikai és Matematikai Irodalmi Fő Kiadó, 1972. - 368 p. - (Valószínűségelmélet és matematikai statisztika). - 13.000 példány.
Ovcharov L. A. A sorbanállás elméletének alkalmazott problémái. - M . : Mashinostroenie, 1969. - 323 p. - 7500 példány.
Gnedenko B. V. , Kovalenko I. N. Bevezetés a sorban állás elméletébe. - M .: "Nauka" Kiadó, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1966. - 432 p. - 12000 példány.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 12647707b GND : 4255044-0 J9U : 987007553435905171 LCCN : sh85109832 NDL : 00567524 NKC : ph276803