Shannon tételei egy zajos csatornára

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. november 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Shannon tételei zajos csatornára ( Shannon tételei zajos csatornán keresztüli átvitelre ) összekapcsolják egy információátviteli csatorna kapacitását és egy olyan kód meglétét, amely egy olyan csatornán keresztül információt továbbíthat, amelynek hibája nulla (mint a blokk hossza növekszik).

A tételek állítása

Hadd

$K$ a forrás által generált blokk hossza
$L$ - a csatornán keresztül továbbított blokk hossza (kódolás után)
$R$ — üzenet sebessége (forrás teljesítménye)

R=K/L

$C$ - csatornakapacitás , a csatorna be- és kimenetén a maximális kölcsönös információként definiálva ( és - a csatorna be- és kimenetének valószínűségi változóként való megjelenítése ) $x$ $Y$

C=\max({I(X;Y)})

${\displaystyle P_{er))$ a blokkdekódolási hiba átlagos valószínűsége
${\displaystyle P_{er,max))$ a blokkdekódolási hiba maximális valószínűsége

{\displaystyle {P}_{er,max}=\max \limits _{1\leqslant s\leqslant M}P_{er))

Direkt tétel

Ha az üzenetsebesség kisebb, mint a kommunikációs csatorna ( ) sávszélessége, akkor léteznek olyan kódok és dekódolási módszerek, amelyeknél az átlagos és maximális dekódolási hiba valószínűsége nullára irányul, amikor a blokk hossza a végtelenbe hajlik, vagyis amikor . $R<C$ $\left\{({\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},...,{\vec {x_{M))))\right\}$ $P_{er}\to 0$ $P_{er,\max }\to 0$ $L\to \infty$

Más szóval: Zajos csatornához mindig lehet találni olyan kódrendszert, amelyben az üzenetek tetszőlegesen nagy pontossággal kerülnek továbbításra , kivéve, ha a forrás teljesítménye meghaladja a csatorna kapacitását .

Inverz tétel

Ha az átviteli sebesség nagyobb, mint a sávszélesség, akkor nem léteznek olyan átviteli módszerek, amelyeknél a hiba valószínűsége nullára ( ) hajlik az átvitt blokk hosszának növekedésével ( ). $R>C$ $P_{er}\to 0$ $L\to \infty$

Shannon határa

A Shannon-határ az a maximális átviteli sebesség, amelynél lehetséges (jelkód-kialakítás kiválasztása) a hibák kijavítása egy adott jel-zaj aránnyal rendelkező csatornában . Egy additív fehér Gauss-zajjal rendelkező csatorna esetében a Shannon-képlet szerinti áteresztőképesség a következő:

C=\Delta F\cdot \log _{2}\left(1+{\frac {P_{s}}{P_{n}}}\right)=\Delta F\cdot \log _{ 2}\left(1+{\frac {P_{s}}{N_{0}F}}\right)

ahol

$\Delta F$ - csatorna sávszélesség, Hz ,
${\displaystyle P_{s))$ - jel teljesítmény, W ,
$P_{n}$ - zajteljesítmény, W,
$N_{0}$ a zajteljesítmény spektrális sűrűsége , W/Hz.

Maximális csatornakapacitás AWGN-nel és korlátlan spektrummal:

C_{\infty }=\lim _{F\to \infty }C=\lim _{F\to \infty }F\cdot \log _{2}e\cdot \ln \left(1+ {\frac {P_{s}}{N_{0}F}}\right)=\lim _{F\to \infty }F\cdot {\frac {P_{s}}{N_{0}F} }\log _{2}e={\frac {P_{s}}{N_{0}}}\log _{2}e\approx {\frac {P_{s}}{N_{0}}} \cdot 1,443

bps

Jelenleg ( 2007 ) ehhez a határértékhez a legközelebbi közelítést egy 10 millió bites blokkhosszúságú LDPC kód adja .

Másrészt a Shannon-határ az a minimális jel-zaj viszony, amelynél elméletileg lehetséges egy blokk hibamentes átvitele és dekódolása adott sebességgel. Például egy QPSK modulációs típus és 1 (bps)/szimbólum bitsebesség esetén a minimális jel-zaj arány 0,25 dB.

Irodalom

Gabidulin E. M. , Pilipchuk N. I. Előadások az információelméletről - Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet , 2007. - 214 p. — ISBN 978-5-7417-0197-3
Vargauzin, V.A., Cikin, I.A. Módszerek a digitális rádiókommunikáció energia- és spektrális hatékonyságának javítására - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2013 - 352 p. - ISBN 978-5-9775-0878-0