Pappus-Guldin tételek

A Papp-Guldin tételek két forradalmi testekre vonatkozó tétel, amelyek területüket és térfogatukat a baricentrum által leírt kerülethez viszonyítják . Az alexandriai Pappus megfogalmazta (nem szolgáltatott bizonyítékot). Az első ismert bizonyíték Paul Guldin ( 1640 ) [1] nevéhez fűződik .

Az első Pappus-Guldin tétel (a forgásfelület területéről)

Egy lapos vonal (zárt vagy nyitott) tengely körüli elforgatásával kialakuló test felülete, amely ennek az egyenesnek a síkjában fekszik, és nem metszi azt, egyenlő a forgó vonal hosszának szorzatával. a kör hossza, amelynek sugara az egyenes tengelyétől a baricentrumáig mért távolság [2] [3] .

Pappus-Guldin második tétele (egy forradalomtest kötetéről)

Egy lapos alaknak egy ugyanabban a síkban elhelyezkedő és az ábrát nem metsző tengely körüli elforgatásával kialakuló test térfogata megegyezik az alakzat területének és a kör hosszának szorzatával, amelynek sugara a távolság a forgástengelytől az ábra baricentrumáig [2] [4] .

Bizonyítás

Lemma

Legyen több azonos tömegű anyagpont az egyenes egyik oldalán lévő síkban. Ekkor ennek a pontrendszernek a súlypontját eltávolítjuk az egyenesből olyan távolságban, amely egyenlő e pontok egyenestől való távolságának számtani átlagával . $l$ $l$

Bizonyítás : Bizonyítsuk be a lemmát matematikai indukcióval. Jelöljük a pontok számát -vel , magukat a pontokat , , …, -vel, az egyes pontok tömegét -val, a pontok távolságát pedig az egyenestől - , , …, -vel . $n$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$

Mert , a lemma állítása nyilvánvaló. Legyen igaz a lemma egy pontra. Ekkor a súlypontjuk távol van $n=1$ $n-1$ $P$

r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}

Helyettesítsük a , , … anyagi pontok rendszerét egy pontra , koncentrálva benne a -val egyenlő tömeget . Meg kell találni két anyagi pont és a súlypontját . Mivel egy pontnak van tömege és egy pontnak tömege , akkor $M_{1}$ $M_{2}$ ${\displaystyle M_{n-1))$ $P$ $(n-1)m$ $O$ $P$ $M_{n}$ $P$ $(n-1)m$ $M_{n}$ $m$

PO:OM_{n}=1:(n-1)

Ezért ha egy pont és egy egyenes távolsága (1. ábra), akkor $r^{*}$ $O$

{\megjelenítési stílus (rr^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)}

ahol

r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{ n-1}+r_{n}}{n}}

Így a lemma állítása az anyagi pontokra érvényes. $n$

Az első Papp-Guldin tétel bizonyítása

Mindenekelőtt bebizonyítjuk, hogy ez a tétel igaz, ha a tételben hivatkozott görbe egy -linked vonallánc , amelyben minden kapcsolat azonos hosszúságú . A vonallánc linkjeinek felezőpontjait , , …, , az ezektől a pontoktól az egyenesig terjedő távolságokat pedig , , …, . Ha a szóban forgó vonalláncot egy egyenes körül forgatjuk , egy felületet kapunk, amely részekből áll, amelyek mindegyike egy csonka kúp oldalfelülete. Mivel a csonka kúp oldalfelülete egyenlő a generatrix hosszának és az átlagos szakasz kerületének szorzatával, a kapott forgási szám területe egyenlő $n$ $m$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$ $l$ $n$

{\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n))

Ha észrevesszük, hogy a vizsgált vonallánc hossza , átírhatjuk a terület kifejezését $P=mn$

S=P\cdot 2\pi R

ahol

R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}

de a szaggatott vonal súlypontja, vagyis azon , …, , , …, pontok súlypontja, amelyekben a tömeg koncentrálódik , a lemma szerint , távolságra van elválasztva az egyenestől . Ez azt jelenti, hogy a vizsgált esetben az első Papp-Guldin tétel érvényes. $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $R$

Tekintsünk most egy tetszőleges egyenest , amelynek elforgatása a tengely körüli elforgatásakor felületet eredményez . Írunk bele egy hivatkozásokat tartalmazó szaggatott sort . A tengely körüli forgatás során olyan felületet kapunk, amelynek területe egyenlő , ahol a vonallánc hossza , és a vonallánc súlypontja és a forgástengely közötti távolság . $K$ $l$ $K$ $L$ $m$ $L$ $l$ $T$ $S=P\cdot 2\pi R$ $P$ $L$ $R$ $L$ $l$

Ha számolunk , akkor a vonallánc hossza a vonal hosszához , a felülete a felülethez , a vonallánc súlypontja a görbe súlypontjához fog hajlítani . Mivel bármelyikre érvényes a reláció , akkor a határértékre haladva azt találjuk, hogy a görbére is érvényes . $m\to 0$ $L$ $K$ $T$ $K$ $L$ $K$ $m$ $S=P\cdot 2\pi R$ $L$ $m\to 0$ $K$

Jegyzetek

↑ Glaser, 1983 , p. 176.
↑ 1 2 Glaser, 1983 , p. 177.
↑ Fikhtengolts, II. köt., 1969 , p. 229.
↑ Fikhtengolts, II. köt., 1969 , p. 232.

Irodalom

Glazer G.I. A matematika története az iskolában. IX-X osztályok. - M . : Oktatás, 1983. - 351 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. T. II. 7. kiadás - M. : Nauka, 1969. - 800 p.