Sebességösszeadás tétel

A sebességek összeadásáról szóló tétel a kinematika egyik tétele , egy anyagi pont sebességét köti össze különböző vonatkoztatási rendszerekben . Azt állítja, hogy egy anyagi pont összetett mozgása esetén abszolút sebessége megegyezik a relatív és a transzlációs sebesség összegével [1] [2] .

Összetett mozgás

A mechanikában a mozgást mindig valamilyen vonatkoztatási rendszerhez (FR) viszonyítva tekintjük. Bizonyos esetekben azonban célszerű, sőt szükséges egy anyagi pont (MT) mozgását két különböző vonatkoztatási rendszerhez képest egyidejűleg vizsgálni. Ezen vonatkoztatási rendszerek egyikét feltételesen mozdulatlannak, alapnak, a másikat pedig az elsőhöz képest mozgónak tekintjük. Ekkor egy pont mozgását két mozgásból állónak tekinthetjük: az első a mozgó vonatkoztatási rendszerhez viszonyított mozgás, a második a mozgó kerettel együtt az állóhoz viszonyított mozgás. Egy pont ilyen mozgását komplexnek vagy összetettnek nevezzük .

Definíciók

A feltételesen rögzített vonatkoztatási rendszert általában abszolútnak nevezik . Ennek megfelelően egy pont mozgását, elmozdulását , sebességét és gyorsulását ehhez a CO-hoz képest abszolútnak nevezzük. Az ábrán a K referenciarendszert abszolútnak választjuk.

A feltételesen mozgó vonatkoztatási rendszert általában relatívnak nevezik . Egy pont mozgását, elmozdulását, sebességét és gyorsulását ehhez a rendszerhez képest relatívnak is nevezik. Az ábrán látható K' rendszer relatív.

A K' mobilrendszer és a vele mereven kapcsolódó térpontok [3] által a K rendszerhez képest végzett mozgást hordozhatónak nevezzük . Ha néhány MT elmozdul a K' mobilrendszerhez képest, akkor általános esetben a K' rendszernek az a pontja, amelyben az MT éppen található, a stacionárius K rendszerhez képest is elmozdul. A K' rendszert az MT hordozható sebességének nevezzük .

Bizonyítás

Legyen az MT egy időpontban az A pontban, egy idő után pedig a B pontban (lásd az ábrát). Ekkor a K rendszerhez viszonyított elmozdulása (abszolút eltolás) egyenlő lesz . A K' mobilrendszer A pontja az időben együtt mozgott K'-el, és a K rendszerhez képest elmozdulva a C pontba került (transzlációs mozgás), amit az ábrán a vektor mutatja . A K' rendszerhez társított megfigyelő szemszögéből a C pont az a pont, ahol az MT eredetileg elhelyezkedett, tehát a vektor az MT mozgását a K' mobilrendszerhez viszonyítva, vagyis a relatív mozgást reprezentálja. . Az elmondottakból és az ábrán látható vektordiagramból az következik $\Delta t$ ${\vec {S}}_{a}$ ${\displaystyle}$ ${\vec {S}}_{e}$ ${\vec {S}}_{r}$

{\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.

Ezt az egyenlőséget elosztva az időintervallummal , majd nullára fordítva a határértéket kapjuk $\Delta t$

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},

ahol az abszolút, a figuratív és az MT mozgásának relatív sebessége. ${\vec {v}}_{a}$ ${\vec {v}}_{e}$ ${\vec v}_{r}$

A kapott egyenlőség a sebességek összeadásáról szóló tétel matematikai kifejezése, amely a következőképpen van megfogalmazva:

A sebesség-összeadás tételét sebesség-paralelogramma szabálynak is nevezik [4] .

Vita

Általános esetben a K' rendszer mozgása két mozgás összegeként ábrázolható: a K' rendszer kezdőpontjának sebességével megegyező sebességű transzlációs mozgás és az ezen áthaladó pillanatnyi tengely körüli forgó mozgás. eredet. Megmutatható, hogy a transzlációs sebesség , a koordináták origójának sebessége és a rendszer forgómozgásának szögsebessége összefügg a [5] összefüggéssel. ${\vec {v}}_{e}$ $\vec v_0$ ${\vec {\omega ))$

{\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].

Ezt az egyenlőséget figyelembe véve a tétel matematikai kifejezése formát ölt

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\ vec{v}}_{r}.

A két vonatkoztatási rendszerre igazolt tétel állítása könnyen általánosítható tetszőleges számú vonatkoztatási rendszerre. Valóban, tegyük fel, hogy az általunk eddig mozdulatlannak tekintett K rendszer valamely harmadik rendszerhez képest mozog. Ekkor az MT abszolút sebességére ebben a rendszerben, a bizonyított tétel alapján, ${\displaystyle {\vec {v'_{a))))$

{\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{ r},

hol a hordozható sebessége a K rendszer azon pontjának, amelyben az MT egy adott időpillanatban található, és amelynek mozgását vizsgáljuk. Nyilvánvalóan hasonló érveléssel tetszőleges számú vonatkoztatási rendszerhez megfelelő sebességek összeadására szolgáló képletet kaphatunk. ${\displaystyle {\vec {v'_{e))))$

A sebesség-összeadás tétel állítása csak addig érvényes, amíg a tételben említett sebességek jóval kisebbek, mint a fénysebesség . Ellenkező esetben a relativisztikus sebesség-összeadás képletet kell használni .

Megjegyzés . Az MT sugárvektor a K referenciakeretben mindig két vektor összegeként ábrázolható: $r(t)$

{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r′}}(t),

ahol a mozgó koordináta-rendszer origójának sugárvektora, és az MT sugárvektora a K' mozgó keretben. A megkülönböztetés után az egyenlőség azt jelenti ${\vec {R}}(t)$ ${\vec {r'}}(t)$

{\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}( t)}{dt}}.

Az így kapott arány bármely MT-re és bármely időpontra érvényes. Figyelembe kell azonban venni, hogy általános esetben az összeg első tagja nem egyenlő az átviteli sebességgel, a második pedig nem egyenlő a relatív sebességgel. Valóban, a K' koordinátarendszer origójának sebessége és a rendszer forgása esetén K' nem esik egybe a rendszer azon pontjának sebességével, ahol az MT jelenleg található. Viszont az MT sebességét reprezentálja a koordináták origójához viszonyítva , vagyis másképpen van definiálva, mint a relatív sebesség . A és egyenlőségek csak azokban az esetekben teljesülnek, amikor a K' rendszer progresszíven mozog, vagyis amikor nem fordul ( ) és minden pontja ugyanúgy mozog [6] . ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}$ $\vec v_0$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}$ ${\vec {v}}_{r}$ ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}$ ${\vec {\omega }}=0$

Példák

A Földhöz kapcsolódó referenciakeretben a kocsifolyosón sétáló utas [7] sebessége két sebesség kombinációjának tekinthető. Ezek közül az első az a sebesség, amellyel az autó azon pontja mozog, amelyen az utas éppen tartózkodik - az átszállási sebesség, vagyis az a sebesség, amellyel az autó „viszi” az utast. A második tag az utas sebessége az autóhoz viszonyítva. Ha az autó a pálya lekerekítése mentén mozog, akkor az utas abszolút sebességének iránya megváltozik a hordozható sebesség változása miatt.
A forgó gramofonlemezen kúszó légy abszolút sebessége [8] egyenlő a lemezhez viszonyított mozgási sebességének és a légy alatti lemez pontjának a Földhöz viszonyított sebességének geometriai összegével. - a transzlációs sebesség.
A vízszintes felületen csúszás nélkül gördülő kerékpont (kör) mozgása összetett mozgásnak tekinthető, amely a kerék egészének sebességgel történő mozgásából és a kerék pontjainak a tengelye körüli szögsebességű elforgatásából áll. . Ekkor a sebességösszeadás tételének megfelelően a kerékpont abszolút sebességének vízszintes és függőleges tengelyekre vonatkozó vetületei így írhatók fel. $v$ $\omega$

v_{x}=vv\cos \omega t

v_{y}=v\sin \omega t,

hol van a kerék sugara. Az integrálást követően és ezen egyenletek figyelembevételével a következő:

R

v=\omega R

x=\omega Rt-R\sin \omega t

y=RR\cos \omega t.

A kapott egyenletek a cikloid paraméteres egyenletei , illetve a kerékpont pályája a cikloid.

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - M . : Felsőiskola, 1995. - S. 156-158. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Buchholz N. N. Az elméleti mechanika fő tanfolyama / Hatodik kiadás, átdolgozta és kiegészítette S. M. Targ. - M . : "Nauka" , 1965. - T. 1. - S. 88-90.
↑ Vagyis a K' rendszerhez képest rögzített pontok.
↑ Kilcsevszkij N. A. Elméleti mechanika tanfolyam. - M . : "Nauka", 1977. - T. I. - S. 144.
↑ Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanika. - S. 362. - 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Golubev Yu. F. Az elméleti mechanika alapjai. - M. : MGU, 2000. - S. 119. - 720 p. — ISBN 5-211-04244-1 .
↑ Ebben az esetben abszolút sebességről van szó.
↑ Sebesség a Földhöz viszonyítva.