Racionális gyökök tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az algebrában a racionális gyökök tétele (egyben a racionális gyök tesztje is ) keretet definiál az alábbi alakú polinom racionális gyökére :

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

egész együtthatókkal és . _ $a_{i}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

A tétel kimondja, hogy minden racionális gyök , ahol és a koprímszámok , teljesíti azt a feltételt, hogy $x=p/q$ $p$ $q$

$p$ a szabad kifejezés osztója , $a_{0}$

$q$ a vezető együttható osztója . $a_n$

A racionális gyökök tétele a Gauss-lemma speciális esete .

Alkalmazás

A tétel egy polinom összes racionális gyökének megtalálására szolgál, ha van ilyen. Segítségével véges számú lehetséges helyettesítéssel tesztelhető megoldás kerül meghatározásra. Ha találunk egy racionális gyöket , akkor az eredeti polinom maradék nélkül felosztható, így kapunk egy kisebb fokú polinomot, amelynek gyökei egyben az eredeti polinom gyökei is. $x=r$ $xr$

Köbös egyenlet

Köbös egyenlet általános formában:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

egész együtthatókkal három megoldása van komplex számokban . Ha a racionális gyökök tesztje nem tár fel semmit, akkor a megoldások kifejezésének egyetlen módja a kockagyökök használata . Ha azonban találunk legalább egy r racionális megoldást , akkor az ( x - r) zárójelbe helyezése egy másodfokú egyenlethez vezet, amely a diszkrimináns segítségével megoldható .

Bizonyítás

Legyen:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\in Z$ .

Tegyük fel, hogy néhány másodprím egész és : $P(p/q)=0$ $p$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+ a_{0}=0$ .

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva a zárójelekből, és az ellentétes előjelű szabad tagot átvisszük az egyenlet jobb oldalára, így kapjuk: $q^{n}$ $p$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Látható, hogy ez egy osztó . De a és koprímszámok, ami azt jelenti, hogy osztónak is kell lennie . $p$ ${\displaystyle a_{0}q^{n))$ $p$ $q$ $p$ $a_{0}$

Ha éppen ellenkezőleg, a vezető tagot átvisszük az egyenlet jobb oldalára, és zárójelbe tesszük, a következőt kapjuk: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Vegyünk egy következtetést az [1] -gyel való oszthatóságról . $a_n$ $q$

Példák

1. példa

Egy polinom minden racionális gyöke

$2x^{3}+x-1$

a számlálóban egy osztó, a nevezőben pedig egy kettő osztója kell, hogy legyen. Így a lehetséges racionális gyökök és . Azonban egyik sem fordítja a kifejezést nullára, ezért a polinomnak nincs racionális gyöke. $\pm {\frac {1}{2))$ $\pm 1$

2. példa

Egy polinom minden racionális gyöke

$x^{3}-7x+6$

Hatos osztójának kell lennie a számlálóban és egy osztójának a nevezőben, amelyből a lehetséges gyökök . Ezek közül , és fordítsa a kifejezést nullára, így a polinom gyökerei. $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ $egy$ $2$ $-3$

Jegyzetek

↑ Arnold, Denise. 4 egység matematika . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 oldal p. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Irodalom

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Az egyetemi algebra alapjai . — 3. kiadás. – Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. – P. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD Az elemi matematika történelmi gyökerei . - Dover Courier Publications, 1998. - P. 116-117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Kalkulus: alkalmazott megközelítés . - Cengage Learning, 2007. - P. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .