Tétel egy négyzet egyenlő területű háromszögekre vágásáról

A négyzet egyenlő területű háromszögekre vágásáról szóló tétel azt mondja, hogy egy négyzet nem vágható fel páratlan számú, azonos területű háromszögre [1] .

A tétel híres a 2-adikus normát használó váratlan bizonyításáról .

Történelem

A problémát Fred Richman vetette fel az American Mathematical Monthly című folyóiratban 1965-ben, Paul Monsky pedig 1970 -ben oldotta meg [2] .

A bizonyításról

2-adikus számok felhasználásával az egységnégyzet pontjainak bizonyos háromszínű színezése jön létre.

A színezés főbb tulajdonságai a következők:

1. A különböző színű csúcsokkal rendelkező háromszög területe nem fejezhető ki páratlan számlálóval és nevezővel rendelkező törtként.
   • Különösen, ha egy négyzet páratlan számú egyenlő méretű háromszögre osztható fel, akkor egyik háromszögnek sem lenne mindhárom színű csúcsa.
2. Bármely egyenes vonal pontosan két színnel van festve.

Ez és ennek a színezésnek néhány más tulajdonsága ellentmondáshoz vezet a Sperner-lemmával .

Változatok és általánosítások

• -A dimenziós kocka csak akkor osztható fel azonos térfogatú egyszerűségekre , ha az egyszerűségek száma a [3] [4] többszöröse .
• A tétel bizonyítása magában foglalja olyan négyszögek létezését is, amelyek nem vághatók egyenlő területű háromszögekre.
• Egész szám esetén egy szabályos -szög akkor és csak akkor vágható egyenlő területű háromszögekre, ha osztható [5] -vel .
• Egyetlen zonogon sem vágható fel páratlan számú egyenlő területű háromszögre . Ezt a tényt ugyanaz a Paul Monsky bizonyította be a főtétel után [6] [7] .

Jegyzetek

1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. Egy négyzet és páratlan számú háromszög // Proofs from The Book . — 4. - Berlin, 2010. - S.  131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
2. ↑ P. Monsky. A négyzet háromszögekre osztásáról  //  The American Mathematical Monthly  : Journal. - 1970. - 1. évf. 77 , sz. 2 . - 161-164 . o . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233_ _
3. ↑ Mead, David G. (1979. szeptember), A hiperkocka szimplexekbe bontása , Proceedings of the American Mathematical Society , 76. kötet , 302–304, DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093 
4. ↑ Sperner's Lemma archiválva : 2016. április 19., a Wayback Machine , Moor Xu
5. ↑ EA Kasimatis, Szabályos sokszögek egyenlő területű háromszögekbe történő bontása, Discrete & Computational Geometry, 1989. augusztus, 4. kötet, 4. szám, 375-381.
6. ↑ Monsky, Paul (1990), Stein sejtése a síkbeli dissectiókról , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264 
7. ↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, p. 130 , ISBN 9780883850282 

Irodalom

• B. Becker, S. Vosztokov, Yu. Ionin. 2-adikus számok  // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .