Engel tétele

Engel tétele megadja a nilpotencia két különböző definíciójának egyenértékűségét Lie algebrákra . Friedrich Engelről kapta a nevét .

Megfogalmazás

Egy véges dimenziós Lie algebra akkor és csak akkor nilpotens, ha az operátor bármelyikre nilpotens. $\mathfrak{g}$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\operatorname {ad} _{X}$

Kötelező meghatározások

Legyen véges dimenziós Lie algebra tetszőleges k mező felett . Ha — részhalmazok , akkor a hol alakú összes véges összegű elem halmazát jelöli $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {a)],{\mathfrak {b))$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]$ ${\megjelenítési stílus [X,Y],}$ $X\in {\mathfrak {a)),\;Y\in {\mathfrak {b)).$

A Lie algebra alsó középső sorozatát rekurzívan határozzuk meg:

{\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\ mathfrak {g}}^{i}]

A hazugság algebrát nilpotensnek mondjuk, ha valamilyen számra. Ezzel egyenértékűen, ha bevezetjük a jelölést, akkor a Lie algebra nilpotens lesz, ha valamilyen n természetes számra , ${\mathfrak {g}}^{n}=0$ $\operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\$

hirdetés X 1 hirdetés X 2 ⋅⋅⋅ hirdetés X n = 0

önkényes . $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g)),$