Hopf-Rinow tétel

A Hopf-Rinow tétel a differenciálgeometria tétele , amelyet Heinz Hopf és tanítványa, Willy Rinov bizonyított . Utoljára 1931-ben jelent meg [1] .

Megfogalmazás

Egy útvonalhoz kapcsolódó Riemann-féle sokaság esetén a következő állítások egyenértékűek: $M$

$M$ teljes (vagyis a Riemann-sokaság teljes, mint metrikus tér );
minden pontra az exponenciális leképezés mindenre van definiálva (hol van a pontban az érintő tér ); $p\in M$ $\exp _{p}:T_{p}\to M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $p$
minden behatárolt és bezárt halmaz kompakt . $M$

Bármely két pont és egy lineárisan összefüggő teljes Riemann-sokató összekapcsolható a és közötti távolsággal egyenlő geodéziai hosszúsággal ; $p$ $q$ $p$ $q$
Bármely geodézia egy pályához kapcsolódó teljes Riemann-sokatóriumban korlátlanul meghosszabbítható.

A Hopf-Rinow tétel igaz belső metrikával rendelkező terekre , nem feltétlenül Riemann-féle (például Finsler ) [2] : ha egy lokálisan kompakt teljes metrikus tér belső metrikával , akkor minden zárt korlátos halmaz kompakt. Konkrétan a tér bármely két pontja összeköthető a legrövidebb úton. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $x$
- Ezt az állítást általánosították a nem szimmetrikus metrikák esetére. [négy]

A Hopf-Rinow tétel nem igaz végtelen dimenziós esetben [5] , valamint pszeudo-Riemann-féle sokaságok esetén [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (német) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , Nr. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrikus geometria tanfolyam. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . tétel 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; fordította Cohn-Vossen, S. E. "On the Existence of Shortest Paths". A differenciálgeometria néhány kérdése általában. Moszkva: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), A Hopf–Rinow-tétel végtelen dimenziókban hamis , The Bulletin of the London Mathematical Society , 7. kötet (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , vol. 103, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Archiválva : 2021. május 14. a Wayback Machine -nél .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemann geometria általában , ford. németből, M., 1971;
Cohn-Vossen: Néhány probléma a differenciálgeometriában általában , Moszkva, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Előadások. 5. fejezet: Riemann-elosztók