Frobenius-Perron tétel

A Frobenius-Perron tétel egy pozitív komponensű valós négyzetmátrix legnagyobb sajátértékére vonatkozó tétel. Ennek a tételnek számos alkalmazása van a valószínűségszámításban (Markov-láncok ergodikitása); a dinamikus rendszerek elméletében; a közgazdaságtanban; a demográfiában; közösségi hálózatokban; a keresőkben.

Oscar Perron (1907) és egymástól függetlenül Georg Frobenius (1912) bizonyította . Edmund Landau ötlete, hogy ezt a tételt használjuk a játékosok sorrendjének meghatározására a versenyeken .

Megfogalmazás

Legyen négyzetmátrix , szigorúan pozitív valós elemekkel, akkor a következő állítások igazak: $A$

abszolút értékben a legnagyobb sajátérték valós és szigorúan pozitív; $r$
ez a sajátérték a karakterisztikus polinom egyszerű gyöke ;
a megfelelő sajátvektor szigorúan pozitív koordinátákkal rendelkezik (pontosabban megválasztható), minden más sajátvektor nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal; $r$
sajátérték kielégíti az egyenlőtlenségeket $r$

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

Lásd még

Perron-Frobenius operátor

Irodalom

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus pozitívn Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet , - M .: Nauka 1966, 576s.