Fari-Milnor csomó forgási tétele

A Fary-Milnor tétel kimondja, hogy bármely csomó forgási változása meghaladja a . $4\pi$

Történelem

A kérdést Karol Borsuk fogalmazta meg, és három matematikus egymástól függetlenül bizonyította: Fary István , Heinz Hopf 1949 - ben és John Milnor 1950 - ben . Heinz Hopf nem tette közzé bizonyítékát. Ezt a bizonyítékot bizonyítja az a megjegyzés, amelyet Fari István írt cikkének bizonyítékaihoz. Azt mondja, hogy Hopf Erkika Panwitz munkáját használta egy olyan egyenes létezéséről, amely négy pontban metszi a csomót.

Megfogalmazás

Legyen egy csomópont a háromdimenziós euklideszi térben. Ha a forgásváltozás nem haladja meg a -t , akkor a csomó triviális . $K$ $K$ $4\pi$ $K$

Különösen, ha egy sima csomó, és a görbülete a pontban , akkor $K$ $k=k(p)$ $p$

\oint \limits _{K}k(p)\,dp\leqslant 4\pi

azt jelenti, hogy a csomó triviális . $K$

A bizonyítékokról

Milnor bizonyítása a görbe fordulatának változtatására szolgáló Crofton-képlet egy változatán, valamint azon az egyszerű tényen alapul, hogy a csomó bármely vonalra történő vetületének legalább 4 fordulópontja van. Farey bizonyítása bonyolultabb, a Crofton-képlet analógját használja a görbe forgásának változására, és azt a nem triviális tényt, hogy a csomó vetületének elfordulásának változása bármely síkon nem kisebb, mint . $4\pi$

Alexander és Bishop bizonyítása elemibb, nem használja a Crofton-képleteket, és azon a tényen alapul, hogy egy beírt vonallánc forgásának változása nem haladja meg a görbe forgásának változását.

Egy másik bizonyíték egy váltakozó négyes szekáns létezésén alapul. Ez azt jelenti, hogy bármely csomóponthoz találhat egy egyenest, amely négy áramban metszi azt, amelyek ugyanabban a sorrendben jelennek meg a vonalon, a görbén pedig sorrendben . [1] Úgy tűnik, ez a bizonyíték, amelyet megtalált, de nem publikált Heinz Hopf. $a,b,c,d$ $a,c,b,d$

Létezik egy minimális felületek használatán alapuló bizonyítás is, amely arra támaszkodik, hogy ha a görbe elforgatása nem haladja meg a -t, akkor a görbén lévő határfelületet a területet minimalizáló korong beágyazza. [2] $4\pi$

Változatok és általánosítások

Az is igaz, hogy bármely zárt egyszerű görbe a CAT(0)-térben , amelynek forgási ingadozása kisebb, mint a beágyazott lemez határai [3] . $4\pi$

Lásd még

Fenchel-görbe esztergálási tétele

Jegyzetek

↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots , Ph.D. szakdolgozat, Illinoisi Egyetem, Urbana-Champaign .
↑ Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Minimális felületek beágyazottsága maximum 4π teljes határgörbülettel // Ann . Math.. - 2002. - P. 209–234 . Archiválva az eredetiből 2022. február 15-én.
↑ Sándor, Stephanie B.; Bishop, Richard L. A Fary–Milnor-tétel Hadamard sokaságában // Proc . amer. Math. Soc.. - 1998. - 1. évf. 126. sz . 11 . — P. 3427–3436 .

Irodalom

I. Fary, Sur la courbure totale d'une courbe gauche faisant un nœud (francia) , Bulletin de la Société Mathématique de France, 77 (1949), 128-138.
Karol Borsuk. Sur la courbure totale des courbes fermées (francia) . Ann. szoc. Polon. Math. 20 (1947), 251–265 (1948).
JW Milnor, A csomók teljes görbületéről , Annals of Mathematics , 52 ( 1950), 248-257.
Anton Petrunin, Stephan Stadler. A Fáry–Milnor-tétel hat bizonyítása (angol) . - arXiv : 2203.15137 .