A Tonelli - Fubini-tétel a matematikai analízisben , a valószínűségszámításban és a kapcsolódó tudományágakban a kettős integrál számítását az ismétlődőkre redukálja.
Legyen két véges mértékû tér adott . Jelölje termékükkel . _ Legyen a függvény integrálható a mértékre vonatkozóan . Akkor
és
Legyen valószínűségi terek , és legyen egy valószínűségi változó a -n . Akkor
ahol az index azt a valószínűségi mértéket jelöli , amelyhez viszonyítva a matematikai elvárást vesszük .
Legyen két változó Riemann-integrálható függvénye egy téglalapon , azaz . Akkor
ahol a bal oldali integrál kétdimenziós, a többi pedig iteratív egydimenziós. Feltételezzük, hogy léteznek iterált integrálok.
BizonyításEgy halmaz bármely partícióját egy szegmens és szegmens néhány partíciója kapja meg , és bármely téglalap térfogatát az határozza meg , ahol a partíciók néhány részleges szegmense. Ezután vegye figyelembe a következő integrálbecsléseket
és az és függvény alsó és felső integrál összege :
Ekkor a -hoz viszonyított integrálhatóság mellett , azaz a fenti becslésekből való egyenlőség mellett az integrál
is létezik, és azonos értékű, mint