Tonelli-Fubini tétel

A Tonelli - Fubini-tétel a matematikai analízisben , a valószínűségszámításban és a kapcsolódó tudományágakban a kettős integrál számítását az ismétlődőkre redukálja.

Megfogalmazás

Legyen két véges mértékû tér $\sigma$ adott . Jelölje termékükkel . _ Legyen a függvény integrálható a mértékre vonatkozóan . Akkor $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ $\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{ 1}\otimes \mu _{2}\right)$ $f\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb{R}$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$

a függvény -majdnem mindenhol definiálva van, és integrálható a ; $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_ {2}\jobbra)$ $\mu_{1}$ $\mu_{1}$
a függvény -majdnem mindenhol definiálva van, és integrálható a ; $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_ {1}\jobbra)$ $\mu_{2}$ $\mu_{2}$
egyenlőségek vannak

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left( dx_{1}\jobbra)

és

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left( dx_{2}\jobbra).

Különleges esetek

Valószínűségszámítás

Legyen valószínűségi terek , és legyen egy valószínűségi változó a -n . Akkor $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb{R}$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$

{\mathbb {E}}_{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{ {\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb { E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{1}}}[X]\jobbra ],

ahol az index azt a valószínűségi mértéket jelöli , amelyhez viszonyítva a matematikai elvárást vesszük .

Matematikai elemzés

Legyen két változó Riemann-integrálható függvénye egy téglalapon , azaz . Akkor $f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb{R}$ $[a,\;b]\times [c,\;d]$ $f\in \mathbb{R} (D)$

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^ {d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f( x,\;y)\,dx\jobbra]\,dy,

ahol a bal oldali integrál kétdimenziós, a többi pedig iteratív egydimenziós. Feltételezzük, hogy léteznek iterált integrálok.

Bizonyítás

Egy halmaz bármely partícióját egy szegmens és szegmens néhány partíciója kapja meg , és bármely téglalap térfogatát az határozza meg , ahol a partíciók néhány részleges szegmense. Ezután vegye figyelembe a következő integrálbecsléseket $\lambda$ $[a,\;b]\times [c,\;d]$ $\lambda _{{x}}$ $X=[a,\;b]$ $\lambda _{{y}}$ $[CD]$ $X_{{i}}\szer Y_{{j}}$ $V\left(X_{{i}}\times Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ $X_{{i}},Y_{{j}}$

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

és az és függvény alsó és felső integrál összege : Ekkor a -hoz viszonyított integrálhatóság mellett , azaz a fenti becslésekből való egyenlőség mellett az integrál is létezik, és azonos értékű, mint ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ bal|Y_{j}\jobbra|\jobbra)\left|X_{i}\jobbra|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\ jobb|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ bal|Y_{j}\jobbra|\jobbra)\left|X_{i}\jobbra|$
$f$ $X\-szer Y$ $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ $(*)$ $\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Lásd még

Irodalom

Zorich V. A. Matematikai elemzés . - M . : Nauka Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1984. - S. 131-138.