Sochocki-Weierstrass tétel

A Sochocki-Weierstrass- tétel egy összetett elemzési tétel, amely egy holomorf függvény viselkedését írja le egy lényeges szinguláris pont szomszédságában.

Azt mondja, hogy minden egyértékű analitikus függvény egy lényegében szinguláris pont minden környezetében olyan értékeket vesz fel, amelyek tetszőlegesen közel vannak egy tetszőleges előre hozzárendelt komplex számhoz [1] .

Történelem

Yu. V. Sokhotsky adta ki 1868-ban mesterdolgozatában [K 1] ; bebizonyosodott, hogy „egy végtelen rendű pólusban” (így nevezték a lényegében szinguláris pontot) a függvénynek „minden lehetséges értéket fel kell vennie” (ebben a munkában a függvény értékét ezen a ponton értjük határértékként a hozzá konvergáló pontsorozat mentén) [2] .

Sokhotskyval egyidőben az olasz matematikus, F. Casorati tett közzé egy tételt egy lényeges szinguláris pont átszúrt környéke képének sűrűségéről "Összetett változók függvényeinek elmélete" [K 2] című munkájában . Weierstrass ezt a tételt csak 1876-ban publikálta "Az egyértékű analitikus függvények elméletéről" [K 3] [3] című munkájában . Először Ch. Briot és J. C. Bouquet francia matematikusok találkoztak vele az elliptikus függvények elméletéről szóló munkájukban [K 4] [1] .

Sokhotsky sehol sem védte meg elsőbbségét ezzel és a másoknak tulajdonított egyéb eredményeivel szemben [2] ; az európai nyelvű irodalomban a tétel Casorati–Weierstrass tételként ismert .

Megfogalmazás

Bárhogy is legyen , a függvény lényeges szinguláris pontjának bármely szomszédságában van legalább egy olyan pont , ahol a függvény értéke kisebb mértékben tér el egy tetszőlegesen megadott B komplex számtól . $\varepsilon >0$ $z_{0}$ $F z)$ $z_{1}$ $F z)$ $\varepsilon$

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy a tétel hamis, azaz.

\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

|f(z)-B|>\varepsilon

Tekintsünk egy segédfüggvényt . Feltételezésünk alapján a függvény a pont szomszédságában van definiálva és behatárolva . Ezért egy eltávolítható szinguláris pont [4] . Ez azt jelenti, hogy a függvény kiterjesztésének a pont közelében a következő alakja van: $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B))$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Ekkor a függvény definíciója értelmében a függvény következő kibővítése megy végbe a pont adott környezetében : $\psi (z)$ $z_{0}$ $F z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B

ahol az analitikus függvény a pont -szomszédságában van határolva . De egy ilyen bővítés azt jelenti, hogy a pont a függvény pólusa vagy szabályos pontja , és ez utóbbi kiterjesztésének egy Laurent-sorozatban véges számú tagot kell tartalmaznia, ami ellentmond a tétel feltételének. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $F z)$

■

Ezzel egyenértékűen ez a tétel a következőképpen újrafogalmazható:

Ha egy pont lényegében szinguláris egy olyan függvény számára , amely valamely lyukasztott környéken analitikus , akkor egy tetszőleges komplex számra találhatunk egy olyan sorozatot , amelyhez konvergál . $z_{0}$ $F z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \))$ $w$ $\{z_{n}\}\subset U$ $z_{0}$ $\{f(z_{n})\}\to w$
egy holomorf függvény értékkészlete lényeges szinguláris pontjának tetszőlegesen kicsiny szúrt környezetében mindenütt sűrűn található . $\mathbb {C}$

Általánosítások

Sochocki tételét Picard Nagy tétele általánosítja , amely kimondja, hogy egy analitikus függvény egy lényegében szinguláris pont közelében minden értéket felvesz, kivéve talán egy értéket.

Megjegyzések

↑ Integrálmaradékok elmélete néhány alkalmazással. - Szentpétervár. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. - Pávia, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Linkek

↑ 1 2 Sokhotsky-Weierstrass tétel // Nagy Szovjet Enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ 1 2 B. V. Shabat. A holomorf leképezések értékeinek megoszlása . - M. : Nauka, Fizikai és matematikai irodalom fő kiadása, 1982. Archivált 2016. március 5-én a Wayback Machine -nél Archivált másolat (elérhetetlen link) . Letöltve: 2011. november 15. Az eredetiből archiválva : 2016. március 5.. (határozatlan) .
↑ I. M. Vinogradov. Szohotszkij-tétel // Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985. .
↑ Ezt a tényt egy Laurent-sor függvényének főbb becslésével igazoljuk.

Irodalom

Evgrafov M. A. Analitikai függvények. — M .: Nauka . — 1968, 448 oldal.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka . - 1969, 577 oldal.