Pappus tétel

Pappus tétele a projektív geometria klasszikus tétele .

Megfogalmazás

Legyen A , B , C három pont egy egyenesen, A' , B' , C' három pont egy másik egyenesen. Legyen három AB' , BC' , CA' egyenes három A'B , B'C , C'A egyenest az X , Y , Z pontokban . Ekkor az X , Y , Z pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Jegyzetek

Pappus tételének kettős megfogalmazása csak magának a tételnek az újrafogalmazása:

Az egyenesek menjenek át az A ponton, menjenek át az A' ponton. metszi a B és C pontokat, metszi a C ' és Z pontokat, és metszi a B' és X pontokat. Ekkor a BC', B'C és XZ egyenesek egy pontban metszik egymást (az Y pont a rajzon), vagy párhuzamosak . $a_{1},a_{2},a_{3}$ $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$ $a_{1}$ $a_{2}'$ $a_{3}'$ $a_{2}$ $a_{1}'$ $a_{3}'$ $a_{3}$ $a_{1}'$ $a_{2}'$

Történelem

Ennek a tételnek a megfogalmazását és bizonyítását az alexandriai Pappus matematikai gyűjteménye (Kr. u. 4. század eleje) tartalmazza. A modern időkben a tételt 1566 - ban tette közzé Pappus műveinek kiadója és kommentátora, Federico Commandino .

Bizonyíték

Bizonyítás pontok törlésével a végtelenig

Legyen a pont azon egyenesek metszéspontja, amelyeken a , és , , pontok fekszenek . $O$ $A$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $C'$

Tekintsük a vonalak metszéspontjait:

$AB'\cap A'B=X$

$AC'\cap A'C=Y$

$CB'\cap C'B=Z$

Most olyan projektív leképezést alkalmazunk, amely a vonalat a végtelenbe viszi. $XY$

óta : , : . Most ezt kell bizonyítanunk . $X=\infty$ $AB'\parallel A'B$ $Y=\infty$ $AC'\parallel A'C$ $BC'\parallel B'C$

Tekintsünk hasonló háromszögeket.

$\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'$

$\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$

Innen következik, hogy ( a háromszögek második hasonlósági kritériuma szerint ) . ${\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'$ $\Rightarrow BC'\parallel B'C$

Q.E.D.

Bizonyítás Menelaus tételén keresztül

A háromszögekre és Menelaosz-tételre alkalmazva ezt az állítást is be tudod bizonyítani. $\bigtriangleup AXB$ $\bigtriangleup AYC$ $\bigtriangleup BZC$

Változatok és általánosítások

Pappus tétele egy degenerált eset Pascal tételében : ha egy kúpba írt hatszöget egy Pascal-tételben metsző egyenespárba írt hatszöggel helyettesítünk, akkor Pappus tételével ekvivalenssé válik. Pascal maga is kúpszakasznak tartott egy egyenespárt (vagyis Pappus tételét tétele speciális esetének tekintette).

A kettős megfogalmazás a Brianchon-tétel elfajult esete .

Lásd még

Pappus terület tétel

Irodalom

R. Courant, G. Robbins: Mi a matematika? IV. fejezet, 5.3.