Mann-Wald tétel

A Mann-Wald tétel vagy a folytonos leképezési tétel ( CMT ) egy olyan álláspont a valószínűségszámításban , amely kimondja, hogy a folytonos függvények akkor is megőrzik a határértéket, ha argumentumaik véletlenszerű mennyiségek sorozatai . Heine definíciójában egy folytonos függvény egy konvergens sorozatot képez le egy másik konvergens sorozatra: ha x n → x , akkor g ( x n ) → g ( x ). A tétel kimondja, hogy ez az eredmény akkor is megmarad, ha az { x n } determinisztikus sorozatot { X n } valószínűségi változók sorozatával helyettesítjük , és a valós számokra vonatkozó konvergencia fogalmát a valószínűségi változók konvergenciájának egyik típusával helyettesítjük. .

A tételt először Mann és Wald bizonyította 1943-ban [1] .

Megfogalmazás

Legyenek { X n }, X egy S metrikus téren definiált véletlenszerű elemek . Legyen egy g : S → S′ függvény (ahol S′ egy másik metrikus tér) nem folytonos a D g halmaz pontjaiban és Pr[ X ∈ D g ] = 0 . Aztán [2] [3] [4]

$X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\! \!}}\ g(X).$

Lásd még

Szluckij tétele

Jegyzetek

↑ Amemiya, 1985 , p. 88
↑ Van der Vaart, 1998 , 2.3. tétel, 7. oldal
↑ Billingsley, 1969 , p. 31, 1. következmény
↑ Billingsley, 1999 , p. 21, 2.7. Tétel

Irodalom

Anatoljev, Stanislav. Ökonometria haladóknak. Előadások menete . - Moszkva, 2002. (Orosz)
Amemiya, Takeshi . Haladó ökonometria (határozatlan idejű) . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1985. - ISBN 0-674-00560-0 .
Billingsley, PatrickValószínűségi mérőszámok konvergenciája (határozatlan) . - John Wiley & Sons , 1969. - ISBN 0-471-07242-7 .
Billingsley, Patrick. Valószínűségi mérőszámok konvergenciája (határozatlan) . — 2. - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
Mann, H. B.; Wald, A.A sztochasztikus határ- és sorrendkapcsolatokról // Annals of Mathematical Statistics : folyóirat. - 1943. - 1. évf. 14 , sz. 3 . - 217-226 . o . - doi : 10.1214/aoms/1177731415 . — .
Van der Vaart, A.W. Aszimptotikus statisztika (neopr.) . - New York: Cambridge University Press , 1998. - ISBN 0-521-49603-9 .