Lagrange sorozatinverziós tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. december 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Lagrange-féle sorozatinverziós tétel lehetővé teszi, hogy egy adott analitikus függvény inverzét végtelen sorozatként írjuk fel. A tételnek vannak alkalmazásai a kombinatorikában.

Megfogalmazás

Legyen a függvény analitikus az és pontban . Ekkor a pont valamely szomszédságában a vele fordított függvény egy alak sorozatával ábrázolható $F z)$ $z_{0}$ $f'(z_{0})\neq 0$ $w_{0}=f(z_{0})$ $f^{{-1}}(w)$

f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\left({ \ frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\jobb) ^ {n}\jobbra)\jobbra|_{z=z_{0}}(w-_{w}0)^{n}.

Alkalmazások

Burman-Lagrange sorozat

A Burman–Lagrange sorozat egy holomorf függvény kiterjesztése egy másik holomorf függvény hatványaiban , és a Taylor sorozat általánosítása . $F z)$ $w(z)$

Legyen és legyen holomorf valamilyen pont szomszédságában , sőt, legyen a függvény egyszerű nullája . Most kiválasztunk egy tartományt , amelyben a és holomorfok, és egyértékűek a -ban . Ezután következik az űrlap lebontása: $F z)$ $w(z)$ $a\in \mathbb {C}$ $w(a)=0$ $a$ $w(z)$ $D\ni a$ $f$ $w$ $w$ $\overline {D}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),

ahol az együtthatók kiszámítása a következő kifejezés szerint történik: $d_{n}$

d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{\partial D}}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{ {n+1}}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!)}}\lim _{{z\to a}}{\frac {d^{{n - 1}}}{dz^{{n-1}}}}\left\{f'(z){\frac {(za)^{n}}{w^{n}(z)))\ jobbra \}.

Sorozatinverziós tétel

A sorozatok használatának sajátos esete az úgynevezett Taylor-soros inverziós probléma .

Tekintsük a forma felbontását . Próbáljuk meg a kapott kifejezést használni a sorozat együtthatóinak kiszámításához : ${\displaystyle w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n))$ ${\displaystyle z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n))$

b_{n}={\frac {1}{n!)}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}} } \left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.

Általánosítások

A tétel feltételei szerint a forma szuperpozíciója kielégíti a sorozat formájú reprezentációt $F\circ f^{{-1}}$

F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\ balra ({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z) ) -w_{0}}}\jobbra)^{n}\jobbra)\jobbra)\jobbra|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

Linkek

Weisstein, Eric W. Lagrange bővítése (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Bürmann tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Series Reversion (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Bürmann-Lagrange sorozat