Cauchy-Poincaré tétel

A Cauchy–Poincaré-tétel a Cauchy-integráltétel általánosítása többdimenziós komplex tér esetére . A. Poincaré igazolta 1886-ban.

Megfogalmazás

Legyen egy (komplex) dimenziójú komplex sokaság és egy holomorf fokforma ezen a sokaságon. Ekkor bármely dimenziós lánc határain túli integrálja egyenlő nullával: $M$ $n$ $\omega$ $n$ $\omega$ $(n+1)$ $\sigma \subset M$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Bizonyítás

A szomszédságban ható lokális koordinátákban a holomorf alak a következő: , ahol holomorf függvény a -ben. Mivel és holomorf , ezért ; a külső szorzat tulajdonságaival tehát azt kapjuk, hogy , vagyis hogy a forma zárt. A Stokes-formula értelmében a zárt alak integrálja a határ fölött egyenlő nullával: . Ezért arra a következtetésre jutunk, hogy az integrál nulla. $(z,{\bar {z)))$ $U\subset M$ ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n))$ $f$ $U$ ${\bar {\partial }}f=0$ ${\displaystyle df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu ))}dz_{\mu ))$ $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Irodalom

B. V. Shabat Bevezetés a komplex elemzésbe, II. rész, Több változó függvényei, M., Nauka, 1985