Kolmogorov kétsoros tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2017. augusztus 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Kolmogorov kétsoros tétele a valószínűségszámításban elegendő feltételt támaszt a független valószínűségi változók sorozatának egyik valószínűségével való konvergenciához . Kolmogorov kétsoros tétele használható a nagy számok erős törvényének bizonyítására .

Ahhoz, hogy független valószínűségi változók sorozata egy valószínűséggel konvergáljon, elegendő, ha két sorozat egyidejűleg konvergál: és . Ha ezen felül, akkor ez a feltétel is szükséges. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ $\sum D\xi _{n}$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Bizonyítás

Ha , akkor a Kolmogorov-Hincsin konvergenciatétel szerint konvergál . De feltételezzük, hogy a sorozatok konvergálnak, tehát a sorozatok is konvergálnak . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ $M\xi _{n}$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

A szükségesség bizonyítására a következő „szimmetrizációs” módszert alkalmazzuk. A sorozattal együtt vegyünk egy tőle független valószínűségi változó sorozatot, amelynek eloszlása megegyezik a . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Ezután, ha a sorozatok konvergálnak , akkor a sorozatok konvergálnak , és így a sorozatok . De azt is . Ezért a Kolmogorov-Hincsin konvergenciatétel szerint . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Következő . Ezért a Kolmogorov-Hincsin konvergenciatétel szerint a sorozat egyes valószínűséggel konvergál , és így a sorozat is konvergál . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$

Tehát a sorozatok konvergenciájából (abból a feltételezésből következik, hogy a sorozatok és a sorozatok is konvergálnak. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ $\sum D\xi _{n}$

Irodalom

Shiryaev A. N. Valószínűség. - 3. kiadás, átdolgozva. és további .. - M . : MTSNMO , 2004. (4. fejezet 2. § 1. szakasz)