Carathéodory-Fejer tétel

Carathéodory -Fejer tétel :

Hadd

{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1))

polinom , . Csak egy racionális függvény létezik $P\not \equiv 0$

R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

kedves

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

a Maclaurin-sorozatban szabályos és a kiterjesztésében az első együtthatók egyenlőek, ill . Ez a függvény és csakis ez valósítja meg a legkisebb értéket $\left|z\right|\leqslant 1$ $n$ ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$

M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|

az összes függvény osztályában szabályos az alak körében $\left|z\right|<1$ $F z)$

f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,

és a megadott legkisebb érték az

\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

A szám egyenlő a th- edik fokú egyenlet legnagyobb pozitív gyökével $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $2n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\lpontok &0&c_{0}&c_{1}&\lpontok &c_{n-1}\\0&-\lambda &\lpontok &0&0&c_{0}&\lpontok &c_{ n-2}\\\lpontok és\lpontok &\lpontok &\lpontok {c_{0}}}&0&\lpont &0&-\lambda &0&\lpont &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\lpont &0&0&-\lambda &\ lpontok &0\\\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}} _{n-2}&\lpontok &{\bar {c}}_{0}&0&0&\lpontok &-\lambda \end{vmatrix}}

Ha valós számok , akkor ezek a legnagyobbak a harmadfokú egyenlet gyökeinek abszolút értékei közül ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$ $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\lpontok &0&c_{0}\\0&-\lambda &\lpontok &c_{0}&c_{1}\\\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok & \ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0

Irodalom

Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, - 1911, v. 32. o. 218-239.
Goluzin G. M. Egy komplex változó függvényeinek geometriai elmélete, 2. kiadás, - M. , 1966.