Brun-Tichmarsh tétel

A Brun-Tichmarsh tétel egy állítás az analitikus számelméletben , amely felső korlátot határoz meg a prímszámok aritmetikai progresszióinak eloszlására . Viggo Brun és Edward Charles Tichmarsh matematikusok nevét viseli .

A tétel kimondja, hogy ha egyenlő a modulo - val összehasonlítható prímszámok számával , akkor: $\pi (x;q,a)$ $p$ $a$ $q$ $p\leqslant x$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)))

mindenkinek . $q<x$

Történelem

A tételt szitálási módszerekkel Montgomery és Vaughn 1973 -ban [1] . Brun és Tichmarsh korábbi eredménye ennek az egyenlőtlenségnek a gyengébb változata (egy további tényezővel ). $1+o(1)$

Buffok

Ha viszonylag kicsi, azaz , akkor van jobb korlát: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8)))))

Ezt mutatta meg Motohashi [2] , aki a saját maga által felfedezett Selberg- szita maradék tagjában használt bilineáris szerkezetet . Később az a gondolat, hogy a szita többi részében struktúrákat használnak, a kombinatorikus szita H. Iwaniec általi kiterjesztésének köszönhetően az analitikus számelmélet fő módszerévé fejlesztették.

Összehasonlítás Dirichlet tételével

A Brun-Tichmarsh tétellel ellentétben a Dirichlet-tétel a prímszámokra aritmetikai progresszióban aszimptotikus becslést ad, amely a következő formában fejezhető ki:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ log x}}\right)}\right)

de ez a becslés csak erősebb megszorítások mellett igazolható a konstansra , és ez a Siegel-Wolfitz tétel . ${\displaystyle q<(\log x)^{c))$ $c$

Irodalom

Yoichi Motohashi. Szitamódszerek és prímszámelmélet. - Tata IFR és Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. A szitálási módszerek alkalmazása a számelméletben. - Cambridge University Press, 1976. - P. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Matematikai Enciklopédia. — Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. A nagy szita // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .