Bogolyubov „ék éle” tétele

Bogolyubov „ék éle” tétele kimondja, hogy több összetett változó függvénye, amely két ék alakú régióban holomorf , amelynek közös éle folytonos, az élen is holomorf. Ezt a tételt a kvantumtérelméletben használják a Wightman-függvények analitikus folytatásának megalkotására . A tétel első megfogalmazását és bizonyítását N. N. Bogolyubov mutatta be [1] egy nemzetközi konferencián Seattle-ben, USA-ban (1956. szeptember), és a monográfiában is megjelent [2]. (A függelék, 1. tétel). Ezt követően a tétel további bizonyításait és általánosításait Jost és Lehmann (1957), Dyson (1958), Epstein (1960) és más matematikusok [3] adták . Az "ék éle" tétel fontosabb alkalmazásai a következők: diszperziós összefüggések bizonyítása a kvantumtérelméletben, axiomatikus kvantumtérelmélet, általánosított függvények elmélete, Liouville-tétel általánosítása [3] .

Egydimenziós tok

Egy komplex változó függvényeinél az "ék éle" tétel a következőképpen fogalmazható meg.

• Tétel: Legyen f folytonos komplex értékű függvény a komplex síkon, holomorf a felső és alsó félsíkon. Ekkor az egész komplex síkon holomorf.

Ebben a példában az ékek a felső és az alsó félsík, közös csúcsuk pedig a valós tengely. Az adott tétel Morera tételével igazolható .

Általános eset

Általában az ék egy kúp és egy nyitott halmaz terméke.

Legyen C  egy nyitott kúp, amelynek csúcsa nulla az R n valós térben . Legyen E  nyitott halmaz R n -ben (pont). Definiálunk ékeket és a komplex térben C n . Az ékeknek és W'- nek van egy közös E pontja, ahol E -t azonosítjuk E és a kúp csúcsának szorzatával .

• Bogolyubov ékél-tétele: Legyen f  folytonos függvény az unión , holomorf mindkét éken és W' éken . Ekkor f is holomorf E -n (pontosabban, analitikusan kiterjeszthető E valamelyik környékére ).

A tétel feltételei gyengíthetők. Először is, nem szükséges f -et teljesen az ékeken definiálni, elég, ha f -et a csúcs valamely szomszédságában határozzuk meg. Másodszor, nem szükséges azt feltételezni, hogy f definiált vagy folytonos a csúcson, elég azt feltételezni, hogy a csúcson lévő két ékből f határértékei által adott általánosított függvények egyenlőek.

Alkalmazások a kvantumtérelméletben

A Wightman-eloszlás kvantumtérelméletében a Wightman-függvények határértékei vannak a Minkowski-tér komplexitási változóitól függően . Meghatározottak és holomorfak egy éken, amelyben mindegyik képzeletbeli része egy nyitott pozitív időszerű kúpban fekszik. A változók permutációi különböző Wightman-függvényeket adnak a különböző ékeken. A csúcs térszerű pontok halmaza. Bogolyubov ékpont tételéből következik, hogy mindegyik egyetlen holomorf függvény analitikus kiterjesztése, amely az összes éket tartalmazó összefüggő tartományon van definiálva. Ebben az esetben a csúcson lévő határértékek egyenlősége a kvantumtérelmélet lokalitásaxiómájából következik.

Lásd még

Az "ék éle" tétel alkalmazása a kvantumtérelméletben:

1. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Az axiomatikus megközelítés alapjai a kvantumtérelméletben. — M.: Nauka, 1969.
2. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. A kvantumtérelmélet általános elvei.  - 2. kiadás Moszkva: Fizmatlit, 2006. ISBN 5922106120 .
3. Streeter R., Wightman A.S. PCT, spin, statisztika és minden. 1966.

Jegyzetek

1. ↑ Vladimirov V.S. Több összetett változó függvényelméletének módszerei . - Moszkva: Nauka, 1964. - S. 294-311. (Orosz)
2. ↑ Bogolyubov N. N., Medvegyev B. V., Polivanov M. K. A diszperziós viszonyok elméletének kérdései  (neopr.) . - Moszkva: Fizmatgiz, 1958.
3. ↑ 1 2 Vladimirov V. S. Bogolyubov „ék éle” tétele, kidolgozása és alkalmazásai // Az elméleti fizika problémái. Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubovnak szentelt gyűjtemény hatvanadik születésnapja kapcsán. - M., Nauka , 1969. - Példányszám 4000 példány. - c. 61-67