Weyl tenzor

A Weil görbületi tenzor a Riemann görbületi tenzor nulla nyomvonalú része . Más szóval, ez egy tenzor, amely kielégíti a Riemann-tenzor összes szimmetriatulajdonságát azzal a további feltétellel, hogy a belőle szerkesztett Ricci-tenzor nullával egyenlő.

Hermann Weylről kapta a nevét .

Definíció

A Weyl-tenzort úgy kaphatjuk meg a görbületi tenzorból, hogy kivonjuk belőle a Ricci-tenzor és a skaláris görbület bizonyos kombinációit. A Weyl-tenzor képlete legegyszerűbben a Riemann-tenzorral írható le a vegyértéktenzor (0,4) formájában:

W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\circ g

ahol n a sokaság mérete, g a metrika , R a Riemann-tenzor, Ric a Ricci-tenzor, s a skaláris görbület, h O k pedig az úgynevezett Kulkarni-Nomizu szorzat, kettő szorzata szimmetrikus vegyértéktenzorok (0,2) a valenciatenzor (0,4), amely kielégíti a görbületi tenzor szimmetriáit:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

A komponensekben a Weyl-tenzort a következőképpen adja meg:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

ahol a Riemann-tenzor, a Ricci-tenzor, a skaláris görbület, és a [] az antiszimmetrizáló műveletet jelöli. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Tulajdonságok

A Weil-tenzornak csak legalább négydimenziós terekben lehet nem triviális alakja. Kétdimenziós és háromdimenziós terekben a Weyl-tenzorok azonosak nullával.

A Weyl-tenzor invariáns marad a metrika konformális transzformációi során . Vagyis ha egy adott g metrikára valamilyen függvény segítségével új mérőszámot vezetünk be , akkor az (1,3)-valencia Weyl tenzor nem változik: . Emiatt a Weyl-tenzort konform tenzornak is nevezik . Ebből a tulajdonságból az következik ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- Ahhoz, hogy egy sokaság konforman euklideszi legyen , a Weyl-tenzorának nullának kell lennie.
- 4-nél nagyobb méreteknél ez a feltétel is elegendő .
- A 3-as dimenziójú terek esetében az euklideszi konformitás szükséges és elégséges feltétele, hogy a Cotton tenzor eltűnjön .

Weyl tenzor

Definíció

Tulajdonságok

Lásd még