Séma különbségekkel az áramlás ellen

A számítási fizikában az ellenáramú különbségi séma a hiperbolikus típusú parciális differenciálegyenletek ( hiperbolikus egyenletek ) megoldására szolgáló diszkretizálási módszerek egy osztálya .

Például az egydimenziós hullámegyenlet alakja

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t))+a{\frac {\partial u}{\partial x))=0$

Leírja a hullám terjedését egy irányban sebességgel . Egy ilyen egyenlet az egydimenziós lineáris advekció matematikai modellje is . Egy közönséges rácspontot tekintve egydimenziós esetben csak két irány lehetséges, balra és jobbra. Ha pozitív, akkor a bal oldalt upstream iránynak, a jobb oldalt pedig downstream iránynak nevezzük. (Ha negatív, akkor fordítva). Ha véges különbségeket használva a térbeli deriválthoz több pontot tartalmaz az upstream oldalon, akkor a sémát upstream differencia sémának nevezzük [1] . $x$ $a$ $én$ $a$ $a$ $\partial u/\partial x$

Első rendelés

A legegyszerűbb példa, elsőrendű példa: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Kompakt forma

Meghatározó

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

két (1) és (2) feltételes egyenlet egybe írható:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

Egy ilyen egyenlet általánosságban reprezentálja azokat a sémákat, amelyekben különbségek vannak felfelé. A rendszer stabilitását az upstream különbségekkel a Courant-Friedrichs-Levy kritérium határozza meg . [3]

Források

↑ Fletcher K. Számítási módszerek a folyadékdinamikában . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Orosz)
↑ Patankar, SV Numerical Heat Transfer and Fluid Flow (meghatározatlan) . — Taylor és Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Belső és külső áramlások numerikus számítása . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .