A Navier-Stokes egyenletek megoldásainak létezése és simasága

A Navier-Stokes-egyenletek megoldásainak megléte és simasága a Clay Mathematical Institute által 2000-ben megfogalmazott hét matematikai millenniumi probléma egyike .

A Navier–Stokes egyenletek egy viszkózus newtoni folyadék mozgását írják le, és a hidrodinamika alapját képezik . A Navier-Stokes egyenletek numerikus megoldásait számos gyakorlati alkalmazásban és tudományos közleményben használják. Ezen egyenletek analitikus megoldását azonban csak néhány speciális esetben találták meg, így a Navier-Stokes egyenletek tulajdonságainak teljes megértése nincs. Különösen a Navier-Stokes egyenletek megoldásaiban gyakran szerepel a turbulencia , amely továbbra is a fizika egyik legfontosabb megoldatlan problémája , annak ellenére, hogy nagy jelentősége van a tudomány és a technológia számára.

A Navier-Stokes egyenletek

A folyadék sebességének és nyomásának háromdimenziós vektorára a Navier-Stokes egyenletek a következőképpen vannak felírva: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)

ahol a kinematikai viszkozitás , a sűrűség , a külső erő, a nabla operátor és a Laplace-operátor (Laplacian), amelyet vagy -ként is jelölünk . Ez egy vektoregyenlet, amely háromdimenziós esetben három skaláris egyenletként ábrázolható. Ha a sebesség- és külső erővektorok összetevőit így jelöljük: $\nu>0$ $\rho$ ${\vec f}({\vec x},\;t)$ $\nabla$ $\Delta$ $\nabla \cdot \nabla$ $\nabla ^{2}$

{\vec {v))({\vec {x)),\;t)=(v_{1}({\vec {x)),\;t),\;v_{2}( {\vec {x)),\;t),\;v_{3}({\vec {x)),\;t)),\qquad {\vec {f))({\vec {x} },\;t)=(f_{1}({\vec {x)),\;t),\;f_{2}({\vec {x)),\;t),\;f_{ 3}({\vec {x)),\;t))

akkor minden értékhez megkapjuk a megfelelő skaláris egyenletet: $i=1,\;2,\;3$

{\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{{j=1}}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j))}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{{j=1}}^ {3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec x},\;t).

Az ismeretlen mennyiségek a sebesség és a nyomás . Mivel a háromdimenziós esetben három egyenlet és négy ismeretlen (három sebességkomponens és nyomás) van, szükség van még egy egyenletre. Egy további egyenlet a tömegmegmaradás törvénye - a folytonossági egyenlet, amely összenyomhatatlan közeg esetén a folyadék összenyomhatatlanságának állapotává alakul: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

\nabla \cdot {\vec v}=0.

A Navier-Stokes egyenletek kezdeti feltételei a következő formában vannak megadva:

{\vec v}({\vec x},0)={\vec {v^{0}}}({\vec x})

ahol egy adott sima vektorfüggvény, amely kielégíti a folytonossági egyenletet . ${\vec {v^{0}}}({\vec x})$ $\nabla \cdot {\vec {v^{0))}=0$

A probléma beállításának lehetőségei

A Clay Institute két fő változatát fogalmazta meg a Navier-Stokes egyenletek megoldásainak létezésének és simaságának problémájának. Az első változatban az egyenleteket a teljes háromdimenziós térben figyelembe veszik , néhány korlátozással a megoldás növekedési sebességére a végtelenben. A második változatban az egyenleteket egy háromdimenziós tóruszon vizsgáljuk , periodikus peremfeltételekkel. A prémium megszerzéséhez elegendő a megoldás meglétét és gördülékenységét bizonyítani vagy cáfolni a két lehetőség bármelyikében. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {T}}^{3}={\mathbb {R}}^{3}/{\mathbb {Z}}^{3}$

3D térben

Legyen a kezdősebesség tetszőleges sima függvény, amely kielégíti a folytonossági egyenletet, és olyan, hogy bármely többindex és tetszőleges többindex esetén létezik olyan állandó (csak és -től függően ), hogy ${\vec {v^{0}}}(x)$ $\alpha$ $K>0$ $C_{{\alpha ,K}}>0$ $\alpha$ $K$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{ K}}}\qquad

mindenkinek

\qquad x\in {\mathbb {R}}^{3}.

Legyen a külső erő is egy hasonló egyenlőtlenséget kielégítő sima függvény (itt a multiindex időderiváltakat is tartalmaz): ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad

mindenkinek

\qquad ({\vec {x)),t)\in {\mathbb {R))^{3}\times [0,\infty ).

A megoldásoknak sima függvényeknek kell lenniük, amelyek nem növekednek a végtelenségig, mint . A következő feltételek szükségesek: $\vert {\vec {x}}\vert \to \infty$

${\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }({\mathbb {R}}^{3}\times [0,\infty )) \right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x)),t)\in C^{\infty }({\mathbb {R))^{3}\times [0,\ infty))$
Létezik olyan állandó , hogy mindenki számára . $E\in (0,\infty )$ $\int _{{{\mathbb {R}}^{3}}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}}),t)\vert ^{2}dx<E$ $t\geq 0$

Az első feltétel azt jelenti, hogy a függvények globálisan meghatározottak és egyenletesek; a második az, hogy a kinetikus energia globálisan korlátozott.

A két állítás egyikét kell bizonyítani:

a Navier-Stokes egyenletek megoldásainak létezése és simasága -ban : -ban és bármely, a fent leírt feltételeket kielégítő kezdeti feltételre létezik a Navier-Stokes egyenleteknek egy globális sima megoldása, azaz a sebességvektor és a nyomásmező kielégíti az 1 feltételeket. és 2; $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {f}}({\vec {x}}),t)\equiv 0$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$
a Navier-Stokes egyenletek megoldásainak nemléte vagy nem simasága -ban : vannak kezdeti feltételek és olyan külső erő , hogy nincs megoldás , és kielégítő 1. és 2. feltétel. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {f}}({\vec x},t)$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$

Megoldási kísérletek

2014. január 10-én Mukhtarbay Otelbaev kazah matematikus közzétett egy cikket, amelyben azt állította, hogy teljes megoldást adott a problémára [1] , az eredmény ellenőrzését nehezíti, hogy a munka oroszul készült [2] [ 3] . A matematikai közösségekben a főbb állítások ellenpéldáit tárgyalják [4] . 2014-ben súlyos hibát találtak a bizonyításban, amit a szerző elismert [5] .

Jegyzetek

↑ Mukhtarbai Otelbaev . A Navier-Stokes egyenlet erős megoldásának megléte // Matematikai folyóirat. - 2013. - T. 13 , 4. szám (50) . - S. 5-104 . — ISSN 1682-0525 . Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 17. (Orosz) : Adott a hatodik millenniumi probléma megoldása: bebizonyosodott a háromdimenziós Navier-Stokes probléma erős megoldásának létezése és egyedisége periodikus peremfeltételekkel térváltozókban.
↑ Liz Klimas. 1 millió dollár értékű matematikai probléma megoldható, de még mindig van egy probléma… (angol) (hivatkozás nem érhető el) . The Blaze (2014. január 22.). – „A jelenlegi probléma Otelbajev lapjával az, hogy oroszul íródott. Hozzáférés időpontja: 2014. január 23. Az eredetiből archiválva : 2014. január 23.
↑ Jacob Aron, Katia Moszkvics. Egy kazah matematikus 1 millió dolláros rejtvényt fejtett meg . New Scientist (2014. január 22.). Hozzáférés időpontja: 2014. január 24. Az eredetiből archiválva : 2014. február 2..
↑ Egyenlet - balra! (2014. február 6.). Hozzáférés időpontja: 2014. február 12. Az eredetiből archiválva : 2014. február 23. (Orosz)
↑ Az ördögi millió dolláros bizonyíték elkerüli a matematikusokat . Letöltve: 2016. május 12. Az eredetiből archiválva : 2016. május 25. (határozatlan)

Irodalom

PG Lemarie-Rieusset. A Navier-Stokes-probléma a 21. században . - CRC Press, 2016. - P. 740. - ISBN 1466566213 .
Giovanni Galdi. Bevezetés a Navier-Stokes-egyenletek matematikai elméletébe: Állandó állapotú problémák . - Springer, 2011. - P. 1032. - ISBN 0387096191 .

Linkek

Charles Fefferman által adott hivatalos feladatleírás
2000. évi kiadások: Navier-Stokes egyenletek // Computerra , 2005. október 5 ..
A legkorszerűbb információk Terence Tao személyes blogjában