Szubfaktoriális

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. június 26-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 16 szerkesztést igényelnek .

Egy n szám résztényezőjét (jelölése: !n ) az n rendű permutációk számaként definiáljuk , vagyis az n rendű permutációkat fix pontok nélkül . A szubfaktoriális név a faktoriális analógiájából származik , amely meghatározza a permutációk teljes számát.

Konkrétan az !n annak a száma, hogy n betűt n borítékba (egy-egy) lehet tenni úgy, hogy egyik se kerüljön a megfelelő borítékba (az úgynevezett "levélprobléma").

Explicit formula

A résztényező kiszámítható a befogadás-kizárás elvével :

!n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+ (-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\sum _{{k=0}}^{n}{\frac {(-1)^{k }}{k!}}

Egyéb képletek

$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e))$ , ahol egy hiányos gamma-függvényt jelöl , és e egy matematikai állandó; $\Gamma$
$!n=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}\right\rceil$ , ahol az x -hez legközelebbi egész számot jelöli . $\left\lfloor x\right\rceil$
$!n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor$ ( Mehdi Hassani szerint ), ahol egy szám egész részét jelöli . $\lfloor x\rfloor$
Érvényesek a formális azonosságok : és , ahol , és -ként kell érteni . $Q^{n}=(P-1)^{n}$ $P^{n}=(Q+1)^{n}$ $P^{k}$ $k!$ $Q^{k}$ $!k$

Értéktáblázat

n	! n [1]
egy	0
2	egy
3	2
négy	9
5	44
6	265
7	1854
nyolc	14 833
9	133 496
tíz	1 334 961
tizenegy	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
tizennégy	32 071 101 049
tizenöt	481 066 515 734
16	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
tizennyolc	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 100
húsz	895 014 631 192 902 100

Tulajdonságok

${\displaystyle !n={!(n-1)}\cdot n+(-1)^{n))$
$!n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})$ ( magának a faktoriálisnak is ugyanaz a tulajdonsága )
$!n=(n-1)\cdot a_{{n-2}},$

hol és . A sorozat kezdeti tagjai [2] :

\;a_{0}=a_{1}=1

{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))

a_n

1, 1 , 3 , 11 , 53 , 309, 2119, …

Az 148349-es szám egy altényező , azaz . egyenlő a számjegyei résztényezőinek összegével (a faktorral analóg módon ):

148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}

(megtalálta: JS Madachy, 1979)

A szubfaktoriális időnként megengedett matematikai játékokban, például bizonyos számokból eltérő eredmények elérése (például a Négy négyes játék ismert , ahol az egyenlőség! 4 \u003d 9 hasznos lehet).

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A000166 = Szubfaktoriális vagy enkontresz számok vagy eltérések: n elem permutációinak száma fix pontok nélkül
↑ Az OEIS sorozat A000255 = a (n) az [1,...,n+1] permutációit számolja, amelyeknek nincs részkarakterlánca [k,k+1]