Lagrange konzolok
A Lagrange zárójelek egy bináris művelet a hamiltoni mechanikában, amely szorosan kapcsolódik egy másik bináris művelethez, a Poisson zárójelekhez . A Lagrange zárójeleket Lagrange vezette be 1808-1810-ben a klasszikus mechanika matematikai kifejezéseihez . A Poisson tartókkal ellentétben a Lagrange konzolokat manapság gyakorlatilag nem használják.
Definíció
Legyen ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) kanonikus koordinátarendszer a fázistérben . Ha mindegyiket két változó, u és v függvényében fejezzük ki , akkor u és v Lagrange zárójeleit a képlet határozza meg
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i)){\partial u)){\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\ jobb).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Meg kell jegyezni, hogy ez a képlet egybeesik a Poisson zárójelek definíciójával egészen a parciális derivált operátorok számlálóinak és nevezőinek permutációjáig.
Tulajdonságok
- A Lagrange zárójelek (mint a Poisson zárójelek) antikommutatívak , ami közvetlenül a definícióból nyilvánvaló:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- A Lagrange zárójelek nem függenek a kanonikus koordinátarendszertől ( q , p ) . Ha ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) egy másik kanonikus koordinátarendszer, akkor
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Ha Ω szimlektikus tér egy 2n dimenziós W fázistérben és u 1 , …, u 2 n koordinátarendszert alkot W -ben, akkor a kanonikus koordináták ( q , p ) kifejezhetők az u koordináták és a Lagrange konzolmátrix
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- Az előző tulajdonságok következtében a fázistérben a koordináták ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) akkor és csak akkor kanonikusak, ha a közöttük lévő Lagrange zárójelek alakja
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Lásd még
Irodalom
- Cornelius Lanczos . A mechanika variációs alapelvei. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. - 1998. - T. (2) 44 , sz. 3-4 . – S. 257–277 . MR : 1659212
Linkek
- Eric W. Weisstein . Lagrange bracket (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
- A. P. Szoldatov. Matematikai enciklopédia / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .