Elválasztható polinom

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szeparálható polinom egy olyan mező feletti polinom , amelynek összes irreducibilis tényezőjének nincs több gyöke a mező algebrai lezárásában . $K$ $K$

Létezik egy alternatív definíció is, amely lényegében közeli, de általános esetben nem ekvivalens: egy polinom szeparálható, ha nincs közös gyöke a formális származékával . Ez utóbbi azt jelenti, hogy magának a polinomnak (és nem csak annak irreducibilisének a faktorokon) nincs több gyöke az algebrai zárásban. Az irreducibilis polinomok esetében mindkét definíció egyenértékű. $P$ $P'$ $P$ $K$

A tökéletes mezők feletti irreducibilis polinomok mindig elválaszthatók – ez magában foglalja különösen az összes karakterisztikus nulla mezőt, valamint az összes véges mezőt .

Mivel egy irreducibilis polinom ( Euklidész algoritmusa szerint ) koprím minden kisebb fokú polinomhoz, csak akkor lehet elválaszthatatlan, ha a deriváltja nulla. Ezért az elválaszthatatlanság olyan jelenség, amely csak pozitív jellemzőben nyilvánul meg: egy irreducibilis elválaszthatatlan polinomhoz a reprezentációnak meg kell történnie: $P$

P(X)=Q(X^{p})

ahol szintén irreducibilis polinom, és a mező jellemzője. Ez alapján könnyen megszerkeszthető egy nem elválasztható polinom, például ez egy polinom: $K$ $p$

P(X)=X^{p}-T

egy változó racionális függvényeinek mezője felett az elemek mezője felett . Valójában algebrai kiterjesztésre való átlépéskor (vagy egyszerűen egy mezőhöz való csatlakozáskor ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle T^{1/p))$ $K$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

más szóval, a többszörösség (egyedülálló) gyökere . ${\displaystyle T^{1/p))$ $p$