Összekapcsolt kettőspont

Az összefüggő kettőspont ( Alexandrov colon ) egy véges topológiai tér , amely két bizonyos típusú pontból áll; a legegyszerűbb értelmes példa egy nem Hausdorff-féle topológiai térre az általános topológiában .

Ez egy topológiai tér , amelyet két elem ("nyitott") és ("zárt") halmaza alkot, és a topológiát a következő három nyitott részhalmazból álló lista adja meg : $\circ$ $\golyó$

$\varnothing$ - üres készlet ;
$\{\circ \}$ - egy elem halmaza "nyitott";
$\{\circ ,\bullet \}$ - minden tér.

Az üres halmazon és a teljes kettősponton kívül nyitott részhalmaza csak , zárt részhalmaza pedig csak . Látjuk, hogy egy pontnak nincs más szomszédsága , mint az egész tér; ezért a tér sérti a T1 axiómát , különösen nem Hausdorff. Azt is látjuk, hogy a pont nem zárt részhalmaz. $\{\circ \}$ $\{\bullet \}$ $\golyó$ $\circ$

A topológiai térből egy összefüggő kettőspontra történő leképezés akkor és csak akkor folytonos , ha a pont előképe nyitott -ben (vagy ennek megfelelően a pont előképe zárt -ben ). Ez a tulajdonság indokolja a kapcsolt kettőspontok nevét. Az összekapcsolt kettőspont egy összefüggő és egyúttal útvonalhoz kapcsolódó tér is . $F$ $x$ $F^{{-1}}(\circ )$ $\{\circ \}$ $x$ $F^{{-1}}(\bullet )$ $\{\bullet \}$ $x$

Az Alexander-kocka , az összekapcsolt kettőspont hatványa , univerzális tere a -nál súlyú -terek számára , azaz bármely -súlytér homeomorf egy altérrel [1] . $F^{m}$ $T_{0}$ $m$ ${\displaystyle m\geqslant \aleph _{0))$ $T_{0}$ $m$ $F^{m}$

Jegyzetek

↑ Engelking, 1986 , 2.3.26. tétel, p. 138.

Irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — ISBN 5-354-00822-0 .
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.