Eisenstein sorozat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az Eisenstein-sorozat , amelyet Ferdinand Eisenstein német matematikusról neveztek el , különleges egyszerű példák a kifejezetten megírt sorozatok összegeként adott moduláris alakzatokra .

Definíció

Az Eisenstein súlysor a ${\displaystyle G_{2k))$ $2k$ felső félsíkon definiált és a sorozat összegeként megadott függvény $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k))}.

Ez a sorozat abszolút a változó holomorf függvényéhez konvergál . $\tau$

Tulajdonságok

Modularitás

Az Eisenstein-sor a súly moduláris formáját határozza meg : minden olyan egész számra , amelyre rendelkezünk $2k$ $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ $ad-bc=1$

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d))\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).

Ez abból következik, hogy az Eisenstein-sor ábrázolható az 1 és τ által generált rács függvényében , kiterjesztve azt a rácsok teljes terére: $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$

G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.

Ekkor a Modularitás reláció megfelel annak, hogy ugyanannak a rácsnak a bázisáról bázisra megyünk (ami nem változtatja meg az értékét ), és az új bázis második elemét 1-gyel normalizáljuk. $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).$ $\{\tau ,1\}$ $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ $G_{2k}(\Gamma )$

Moduláris formák ábrázolása

Ezen túlmenően, mint kiderült, bármely (tetszőleges súlyú ) moduláris forma polinomként van kifejezve a és : $2 m$ $G_{4}$ $G_{6}$

f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.

Csatlakozás elliptikus görbékkel

$\wp$ -Egy elliptikus görbe Weierstrass-függvénye Laurent-sorozattá bővül nulla as értéknél $E=\mathbb {C} /\Gamma$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2 }(\Gamma )z^{2k}.

Különösen az E görbe moduláris invariánsai

g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.

Irodalom

A. Weil, Elliptikus függvények Eisenstein és Kronecker szerint, ( Springer-Verlag , Berlin, Heidelberg, New York 1976), angolról fordítva. Yu. I. Manina, M.: "Mir", 1978:
Serre J.-P., Számtantanfolyam. M.: Mir, 1972.
Kubota T. Az Eisenstein-sorozat elemi elmélete. - M. , Nauka , 1986. - 136 p.