Visszavonás

Egy topologikus tér visszahúzása ennek a térnek egy olyan altere , amelyre visszahúzás van ; azaz egy folytonos térkép , amely azonos -on (vagyis olyan, hogy mindenre ). $x$ $A$ $x$ $A$ $f:X\to A$ $A$ $f(x)=x$ $x\in A$

Egy topológiai tér visszahúzása magának a térnek számos fontos tulajdonságát örökli. Ugyanakkor sokkal egyszerűbben elrendezhető, mint önmagában, jobban látható, kényelmesebb egy adott tanulmány számára.

Példák

Az egypontos halmaz egy szakasz, egyenes, sík stb. visszahúzása.
A Cantor tökéletes halmaz minden nem üres zárt halmaza a visszahúzása.
$n$ A -dimenziós gömb nem az euklideszi tér -dimenziós gömbjének visszahúzása, mivel a gömbnek nulla homológiacsoportja van , a gömbnek pedig egy nem nulla csoportja . Ez ellentmond a visszahúzás létezésének, mivel a visszahúzás a homológiacsoportok epimorfizmusát indukálja. $(n+1)$ $H_n$

Kapcsolódó definíciók

Egy tér alterét szomszédsági visszahúzásnak nevezzük , ha van egy nyílt altér, amely tartalmazza a -t, amelynek visszahúzása . $A$ $x$ $x$ $A$ $A$
Egy metrizálható teret abszolút visszahúzásnak ( abszolút szomszédsági visszahúzás ) nevezünk , ha minden zárt alteret tartalmazó mérhető tér visszahúzása (illetve szomszédsági visszahúzódása). $x$ $x$
Ha egy tér visszahúzása az alterébe homotóp a tér önmagára való azonos leképezésével, akkor ezt deformációs térbehúzásnak nevezzük . $x$ $A$ $x$ $A$ $x$
Egy topológiai vektortér lineáris operátorát , amely visszahúzás, folytonos projektornak nevezzük . Egy topológiai vektortér vektoralterét komplementernek mondjuk, ha létezik folytonos vetület . $P$ $E$ $F$ $E$ $P\colon E\to F$

Tulajdonságok

Egy tér altere akkor és csak akkor a visszahúzása, ha a tér tetszőleges topológiai térbe történő folyamatos leképezése kiterjeszthető a teljes tér folyamatos leképezésére . $A$ $x$ $A$ $Y$ $x$ $Y$
Ha a tér Hausdorff , akkor a tér minden visszahúzása be van zárva . $x$ $x$ $x$
A folytonos képre való átmenet alatt megőrzött tulajdonságok, valamint a zárt alterek által örökölt tulajdonságok stabilak a visszavonásra való átmenet tekintetében. Különösen a visszahúzásra való átlépéskor a
- tömörség ,
- kapcsolódás ,
- lineáris kapcsolat ,
- elválaszthatóság ,
- a méret felső határa ,
- parakompaktság ,
- normalitás ,
- helyi tömörség ,
- helyi kapcsolat .
Ha a térnek van egy fixpont tulajdonsága , pl. minden folytonos leképezéshez van olyan pont , hogy , akkor minden térbehúzás rendelkezik a fixpont tulajdonsággal. $x$ $f:X\-X$ $x\X-ben$ $f(x)=x$ $x$
Az abszolút szomszédsági visszahúzás egy helyileg összehúzható tér .
A visszahúzódás a homológiacsoportok epimorfizmusát idézi elő .

Irodalom

Borsuk K., Visszahúzások elmélete, ford. angolból, M., 1971.