Pszeudo-harmonikus rezgések

Az álharmonikus oszcilláció egy olyan rezgéstípus, amelynél a helyreállító erő (az az erő, amely a testet egyensúlyi állapotba hozza vissza) nem lineáris az eltérés nagyságában. Más szóval, ezek olyan rezgések, amelyeknél a rendszer "rugalmassága" az elmozdulástól függ.

Az oszcillációs egyenlet

A pszeudoharmonikus rezgések egyenletének általános formája:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\pontok )

Ha elhanyagolható F minden olyan tagja, amely x-ben nem lineáris, akkor ez az egyenlet harmonikus rezgések egyenletévé alakul .

Példák

Mindkét végén egy 2 l hosszúságú rugalmas, súlytalan huzal van rögzítve. A huzal közepén m tömegű terhelés van rögzítve. A kezdeti időpillanatban a terhelést a << l távolságra eltávolítjuk az egyensúlyi helyzetből, és kezdeti sebesség nélkül elengedjük. A huzal feszítőereje P, keresztmetszete F, Young modulusa pedig E. Az oszcillációs egyenlet ebben az esetben a következőképpen lesz felírva:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

Ennek az egyenletnek a megoldása a következőképpen ábrázolható:

x=a\,\operátornév {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Itt a szimbólum a Jacobi elliptikus függvényt jelöli . Az ilyen ingadozások periódusa egyenlő: $\operátornév {cn}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\jobbra)

Itt K az első típusú teljes normál elliptikus integrál

Lásd még

Harmonikus rezgések

Irodalom

Yu.S. Sikorsky közönséges differenciálegyenletek //M., URSS, 2005