A négyzetesen összeadható sorozatok tere

A négyzetesen összegezhető sorozatok tere egy metrikus tér , a sorozatok egyik alaptere , végtelen számsorozatokból áll, amelyekre a sorozat: ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty ))$

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2))

konvergál , és ahol a két pont közötti távolság a következőképpen van meghatározva : [1] : $\rho (x,y)$ $x,y$

{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2))))

A szabványos jelölés: [1] . Az egyetlen sorozattér , amely a Hilbert tér . $\ell ^{2}$ $\ell ^{p}$

Az elemek összegét és a valós számmal való szorzást az euklideszi térrel analóg módon komponensenként határozzuk meg :

\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+ y_{i}\}_{i=1}^{\infty }

, .

{\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty ))

Skaláris szorzat:

{\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i))

A normát egy ilyen térben a következőképpen határozzák meg:

\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)))={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2} }}

Példák:

Az alak végtelen sorozatai benne vannak, mivel a sorozatok konvergálnak; $x=(1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),\dots ,{\frac {1}{n)),\dots )$ $\ell ^{2}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))))$
a Fourier-sor együtthatói olyanok, hogy , ami a Bessel-egyenlőtlenségből következik . $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n} ,\pontok )\in \ell ^{2}$

Bármely euklideszi tér a tér altere , ami abból a lehetőségből következik, hogy pontjait alakban ábrázolhatjuk . $\mathbb {R} ^{n}$ $\ell ^{2}$ $x=(x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n},0,0,\pontok )$

A kvantummechanikát eredetileg két ekvivalens elmélet formájában fejlesztették ki: a Heisenberg -féle mátrixmechanika a teret és a Schrödinger -féle hullámmechanika , a vele izomorf Hilbert-tér felhasználásával [2] . $\ell ^{2}$ $L^{2}$

A teret néha koordináta Hilbert-térnek is nevezik [1] . $\ell ^{2}$

Lásd még

Korlátozott sorozatok tere

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Sobolev V. I. Előadások a matematikai elemzés további fejezeteiről. - M., Nauka , 1968. - p. 32
↑ A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin . A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - M. : MGU, 1960. - T. II. Mérték, Lebesgue integrál, Hilbert tér. - S. 94-96.

Irodalom

Vulikh BZ Bevezetés a funkcionális elemzésbe. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 példány.
Hilbert tér _