Maupertuis elv

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Maupertuis -elv az az elv, amely szerint egy konzervatív holonomrendszer a klasszikus mechanikában úgy változtatja állapotát, hogy kinetikus energiájának négyzetgyökének integrálja minimális legyen a pályán [1] . A szerzőről – Pierre Maupertuisról nevezték el .

Megfogalmazás

Vegyünk egy konzervatív holonom rendszert energiával és potenciális energiával . Ekkor az állapotváltozása úgy történik, hogy . $E$ $U$ $\int {\sqrt {EU}}ds=min$

Bizonyítás

Nézzünk egy variációt . Használjuk az és az egyenlőségeket . kapunk . Az első tagot részenként integrálva a következőket kapjuk: . Az első tag eltűnik az integrációs intervallum végének változásai miatt . Ennek eredményeképpen a művelet variációjára egy kifejezést kapunk, amely az integrandusnak nullával kell egyenlőnek lennie a változás tetszőlegessége miatt. kapunk . Az egyenlőségeket figyelembe véve megkapjuk a helyes mozgásegyenleteket . Ez bizonyítja az elv érvényességét . [2] $\delta \int {\sqrt {EU}}ds=\int \left\{{\sqrt {EU}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {EU}} }}ds\right\}=0$ $\delta ds={\frac {dx}{ds))\delta dx$ $\delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x$ $\int {\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {EU}}}}\delta xds=0$ $\int _{1}^{2}{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {EU}}{\frac { dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds$ $\delta x$ $\int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{ 2{\sqrt {EU)))){\frac {\partial U}{\partial x))\right\}\delta xds=0$ ${\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt { EU)))){\frac {\partial U}{\partial x))$ $V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {EU}}$ $dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {EU}}}$ $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$ $\int {\sqrt {EU}}ds=min$

Jegyzetek

↑ Yavorsky, 2007 , p. 114.
↑ Fermi, 1968 , p. tizenöt.

Irodalom

Fermi E. Kvantummechanika. — M .: Mir, 1968. — 367 p.
Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. A fizika kézikönyve. - M . : Oniks, 2007. - 1056 p. - ISBN 978-5-488-01248-6 .